Tengo que mostrar lo siguiente 
Sé que tengo que encontrar un $\epsilon$ tal que $B_\infty(f,\epsilon)$ está en $B_1(0,1) \forall f$ . No puedo entender qué puede ser este épsilon. Tampoco sé cómo utilizar la pista que se da en la pregunta. Creo que me falta algo.
Gracias y saludos
Dejemos que $f \in B_1(0,1)$ . Establecer $\delta=\min\{ ||f||_1 , 1 - ||f||_1 \}$ .
Ahora considere $B_0(f,\delta/2) = \{ g\in C[0,1]: ||f-g||_\infty < \delta /2 \}$ .
Ahora $g\in B_0(f, \delta/2)$ entonces $||f-g||_1<||f-g||_\infty<\delta/2$
$||g||_1 \le ||f||_1+||f-g||_1 < ||f||_1 + \delta/2 < 1$
Por lo tanto, $g\in B_1(0,1) \Rightarrow B_0(f,\delta/2) \subset B_1(0,1)$
Por lo tanto, $B_1(0,1)$ está abierto en $(C[0,1],||.||_\infty)$ .
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