La bola unitaria abierta en norma integral es abierta en norma suprema

Question

Tengo que mostrar lo siguiente

Sé que tengo que encontrar un $\epsilon$ tal que $B_\infty(f,\epsilon)$ está en $B_1(0,1) \forall f$ . No puedo entender qué puede ser este épsilon. Tampoco sé cómo utilizar la pista que se da en la pregunta. Creo que me falta algo.

Gracias y saludos

Answer 1

Dejemos que $f \in B_1(0,1)$ . Establecer $\delta=\min\{ ||f||_1 , 1 - ||f||_1 \}$ .

Ahora considere $B_0(f,\delta/2) = \{ g\in C[0,1]: ||f-g||_\infty < \delta /2 \}$ .

Ahora $g\in B_0(f, \delta/2)$ entonces $||f-g||_1<||f-g||_\infty<\delta/2$

$||g||_1 \le ||f||_1+||f-g||_1 < ||f||_1 + \delta/2 < 1$

Por lo tanto, $g\in B_1(0,1) \Rightarrow B_0(f,\delta/2) \subset B_1(0,1)$

Por lo tanto, $B_1(0,1)$ está abierto en $(C[0,1],||.||_\infty)$ .