Se busca: Espacio cuadrático en la característica 2 como contraejemplo de un teorema de Arf

Question

Hola. Peter Roquette me envió un correo electrónico pidiendo un ejemplo de un espacio cuadrático en la característica 2 que tuviera ciertas características. No tengo ni idea de esto, pero tal vez alguien que lea esto lo sepa.

Le gustaría un ejemplo de un campo $K$ de característica 2 con las siguientes dos propiedades:

(1) Las álgebras de cuaterniones sobre $K$ forman un grupo (dentro del grupo Brauer de $K$ ).

(2) Existe una forma cuadrática anisotrópica de dimensión > 4 sobre $K$ que es "completamente regular en el sentido de Arf". Es decir: existe un espacio cuadrático $(V,Q)$ en $K$ tal que

(a) $\dim(V) > 4$

(b) si $Q(v) = 0$ entonces $v = 0$

(c) para la forma bilineal asociada $B(v,w) = Q(v+w) - Q(v) - Q(w)$ , si $B(v,w) = 0$ para todos $w$ en $V$ entonces $v = 0$ .

Estos son los antecedentes. Roquette ha escrito un artículo con Falko Lorenz sobre el desarrollo histórico del invariante de Arf, y en él incluyen un contraejemplo al método de demostración de un teorema de Arf. (El artículo está en la página web de Roquette en http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~ci3/arf.pdf y también ha aparecido en "Mathematische Semesterberichte" vol. 57 (2010) pp. 73--102.) Su contraejemplo al método de demostración de Arf no es en realidad un contraejemplo a su teorema principal. Para encontrar un contraejemplo al teorema principal en sí, quieren un espacio cuadrático con las propiedades anteriores (en la característica 2). Roquette ha preguntado por ahí, pero todavía nadie ha podido darle un ejemplo.

EDIT (16 de agosto): Después de que Roquette se enterara de la respuesta publicada a continuación, ha publicado en su sitio web http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~ci3/manu.html un artículo (número 46) con Lorenz que discute la solución a su pregunta en el contexto del artículo de Arf. Se anima a cualquier persona interesada en este tema a que vea el documento. Me escribió: "Tu idea de poner mi pregunta en el sitio web Math Overflow ha funcionado de maravilla".

Answer 1

He remitido esta pregunta a Detlev Hoffmann, que dice que esos ejemplos existen. En concreto, se puede producir un ejemplo de este tipo en el que haya, por ejemplo, una forma anisotrópica de dimensión 8 utilizando análogos de la característica 2 de las técnicas del artículo de Merkurjev de 1992 "Simple algebras and quadratic forms". Dice que los detalles se pueden encontrar en la tesis doctoral de su estudiante Frederic Faivre en la Universidad Franche-Comté.

Detlev explicó además el origen de la confusión de Arf, que ahora recapitularé. Sobre un campo $F$ de cualquier característica, el producto tensorial de dos álgebras de cuaterniones no es un álgebra de división si y sólo si las dos álgebras de cuaterniones contienen una extensión cuadrática común. En característica distinta de 2, éste es un criterio esencialmente completo. Pero en la característica 2, uno tiene que preguntarse si esta extensión cuadrática es separable o inseparable.

Draxl demostró que si dos álgebras de cuaterniones contienen una extensión cuadrática común, siempre se puede encontrar una que sea separable. Es decir, la propiedad de contener una extensión común inseparable es mucho más fuerte (porque implica que contienen una extensión común separable). Se puede encontrar una buena exposición de esto en el artículo de T.Y. Lam de 2002 "On the linkage of quaternion algebras".

Detlev afirma: Si se exige que cada par de álgebras de división de cuaterniones sobre $F$ (de característica 2) comparten una extensión cuadrática inseparable, entonces no hay formas cuadráticas regulares anisotrópicas de dimensión > 4. "Esto se debe esencialmente a Baeza. De hecho, en cierto sentido incluso a Arf, excepto que él no se dio cuenta de que hay una diferencia entre [compartir subcampos separables e inseparables]." Así que presumiblemente esto es lo que Arf pretendía demostrar.

En cambio, el requisito de que las álgebras de cuaterniones formen un subgrupo del grupo de Brauer es sólo que cada par de álgebras de división de cuaterniones comparta una extensión cuadrática separable. Esta es una hipótesis mucho más débil, y permite ejemplos de campos como en la tesis de Faivre.

Aquí hay algunas referencias precisas para el teorema "todo par de álgebras de cuaterniones sobre $F$ comparten una extensión cuadrática inseparable implica que toda forma cuadrática regular de dimensión > 4 es isótropa":

• Arf (con la confusión mencionada anteriormente): Teorema 11 en "Investigaciones sobre formas cuadráticas en cuerpos de características 2. I." J. reine angew. Math. 183, 148-167 (1941)"
• Baeza: Teorema 3.1 en "Comparación de $u$ -invariantes de campos de característica $2$ ." Bol. Soc. Brasil. Mat. 13 (1982), nº 1, 105--114.
• La tesis de Faivre: Proposición 3.3.5 (con prueba completa)