Número de elementos $GL(n,\mathbb{Z_p})$

Question

Quiero encontrar el número de elementos de $GL(n,\mathbb{Z_p})$ , $p$ primo. Para $p=2$ Tengo 6 elementos ya que una de las diagonales tiene que ser $0$ y el otro $1$ . Pero, ¿cómo debo hacer frente a un $n$ ? La expresión del determinante se complica.

Answer 1

He aquí un plan para abordar esta cuestión:

1. El número de elementos de $GL(n,\mathbb{Z_p})$ es el número de bases de $\mathbb{Z_p}^n$ .
2. Para contar la base de $\mathbb{Z_p}^n$ En primer lugar, has elegido un vector no nulo, por lo que tienes $p^n-1$ entonces para elegir el segundo vector éste debe ser no nulo y no colineal con el anterior por lo que se tiene $p^n-p$ opciones. Al continuar esta reasignación se obtiene : $$|GL(n,\mathbb{Z_p})|=(p^n-1)(p^n-p)\dots(p^n-p^{n-1})$$