Si el polinomio $f_1(x^3)+xf_2(x^3)$ es divisible por $x^2+x+1$ entonces $f_1$ y $f_2$ son divisibles por $x-1$

Question

He intentado hacer algún tipo de fuerza bruta, pero estoy bastante seguro de que tiene que haber un truco que resuelva esto en un par de líneas. He escrito

$$ f_1(x^3)=\sum_{i=0}^n a_i x^{3i}, \ f_2(x^3)=\sum_{j=0}^m b_j x^{3j}, $$

y luego utilizó el hecho de que la suma de los dos es divisible por $x^2+x+1$ para obtener

$$ f_1(x^3)+xf_2(x^3)=\sum_{i=0}^n a_i x^{3i} + \sum_{j=0}^m b_j x^{3j+1} = (x^2+x+1)q(x), $$

donde $q(x)$ es el cociente. Sin embargo, no tengo ni idea de a dónde ir desde aquí. ¿Cómo puedo incorporar el $x-1$ parte? ¿Y cómo cambio al hecho de que $f_1(x)$ y $f_2(x)$ son divisibles por $x-1$ ?

Pensé en usar el hecho de que $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ pero, de nuevo, no sé dónde utilizarlo.

EDIT: Lo siento, había uno $x$ que falta en mi formulación. El lugar donde lo encontré también tenía el $x$ falta, pero el ejercicio original dice $f_1(x^3)+xf_2(x^3)$ .

Answer 1

$\!\bmod\, x^2\!+x+1\!:\,\ \color{#c00}{x^3\equiv 1}\ $ así que $\ 0 \equiv f_1(\color{#c00}{x^3})+x\,f_2(\color{#c00}{x^3})\equiv f_1(\color{#c00}1)+x\,f_2(\color{#c00}1)$

Así, $\ x^2\!+x+1\mid \underbrace{f_1(1) + x\, f_2(1)}_{\large \rm smaller\ deg \ so\,\ 0}\,\Rightarrow\,f_1(1) = 0 = f_2(1)\,\Rightarrow\, x\!-\!1\mid f_1,f_2$

Answer 2

Dejemos que $a$ sea una solución de la ecuación $x^2+x+1=0$ . Entonces $\overline{a}$ también es una solución de esta ecuación. Entonces $a,\overline{a}$ también son solución a la ecuación $f_1(x^3)+xf_2(x^3)=0$ . Desde $a^3=1$ tenemos $f_1(1)+af_2(1)=0$ y $f_1(1)+\overline{a}f_2(1)=0$ . Así, $f_2(1)(a-\overline{a})=0$ y por lo tanto $f_2(1)=0$ y ahora $f_1(1)=0$ lo que significa que $x-1$ divide $f_1$ y $f_2$ .