Simplifique la suma de combinaciones con el mismo n, todos los valores posibles de k

Question

¿Hay alguna manera de simplificar esta ecuación?

$$\dbinom{8}{1} + \dbinom{8}{2} + \dbinom{8}{3} + \dbinom{8}{4} + \dbinom{8}{5} + \dbinom{8}{6} + \dbinom{8}{7} + \dbinom{8}{8}$$

O más en general,

$$\sum_{k=1}^{n}\dbinom{n}{k}$$

Answer 1

Ver

http://en.wikipedia.org/wiki/Combination#Number_of_k-combinations_for_all_k

que dice

$$ \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$$

Puedes probar esto usando el teorema binomial donde $x=y=1$.

Ahora, dado que $\binom{n}{0} = 1$ para cualquier $n$, se deduce que

$$ \sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} = 2^n - 1$$

En tu caso $n=8$, por lo que la respuesta es $2^8 - 1 = 255$.

Answer 2

¿Deberes?

Indirecta:

Recuerda el teorema del binomio:

$$ (x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^ky^{n-k} $$

Ahora, si pudieras encontrar x e y para que $x^ky^{n-k}$ sea constante...