Dado que $x,y,z\in\mathbb R$ , resolver $$\begin{cases}6x^2-12x=y^3\\6y^2-12y=z^3\\6z^2-12z=x^3\end{cases}$$
He intentado añadir las igualdades pero sin éxito. Añadiría lo que he probado, pero sería inútil en el mejor de los casos. He intentado usar algunas identidades de cubos, etc. pero parece que me falta la idea general de una solución que pueda tener este problema.
P.D.: no se pueden utilizar cálculos, logaritmos ni nada parecido. Sólo manipulaciones algebraicas básicas. Gracias.
Dejemos que $f(x)=\sqrt[3]{6x^2-12x}$ . Entonces las soluciones de este sistema de ecuaciones corresponden a $f^3(x)=x$ es decir, puntos fijos de orden 3 de $f$ . (Tenga en cuenta que $f^3=f\circ f\circ f$ aquí y abajo).
Numéricamente, cuento con no menos de $7$ soluciones reales:
$$x\in\{-0.889,-0.527,0,0.0123,1.940,2.0000001,2.488\}.$$
Estos son en los ciclos $-0.889\to2.488\to1.940$ y $-0.527\to2.0000001\to0.0123$ así como el punto fijo de orden 1 $f(0)=0$ .
Encontré estos números hallando numéricamente las raíces de $f^3(x)-x$ (que es una función muy complicada). Pero podemos acotar las raíces de esta función, lo que justifica la solución de fuerza bruta de sólo buscar raíces en esa región.
En primer lugar, hay que tener en cuenta que cualquier ciclo debe contener una entrada no positiva, porque $f(x)<x$ para todos $x>0$ , Ahora $f(x)<x$ si $6x^2-12x<x^3$ si $x(x^2-6x+12)>0$ y $x^2-6x+12>0$ para todos $x$ ya que el discriminante $\Delta=6^2-4\cdot12=-12$ es negativo, entonces si el elemento más pequeño del ciclo es positivo, $f(x)<x$ es una contradicción.
Desde $6x^2-12x$ toma un mínimo en $x=1$ , $f(x)\ge f(1)=-\sqrt[3]6$ por lo que este es nuestro límite inferior para cualquier ciclo en $f$ . El límite superior es $f(-\sqrt[3]6)=3.46,$ porque $f$ es decreciente para $x\le0$ . Así, inspeccionando las soluciones de $f^3(x)=x$ en esta región, puede estar seguro de encontrar todas las soluciones.
La última forma de reducir el espacio de soluciones es notar que hay un límite en lo que se refiere a la flexibilidad $f^3(x)$ puede ser, dado $f(x)$ . Desde $f$ es decreciente en $(-\infty,1]$ y aumentando en $[1,\infty)$ , $f^2$ tendrá $4$ regiones de aumento/disminución, y $f^3$ tendrá exactamente $8$ . (Esto ocurre porque el mínimo de $f$ , $-\sqrt[3]6$ es menor que el $x$ valor para el mínimo, es decir, $1$ .) Cada una de estas regiones tiene un cruce con la línea $y=x$ excepto la última, en la que $f^3(x)<f^2(x)<f(x)<x$ como ya hemos observado. Por lo tanto, el $7$ aquí están todas las soluciones.
No conozco ninguna forma cerrada para ninguno de ellos, excepto para $0$ . (Edición: La solución de Peter Sheldrick da estos números como raíces de cierto grado $24$ polinomio, que pasa como una "forma cerrada" en algunos círculos. Dejaré que seas tú quien juzgue).
Aquí hay un gráfico de telaraña de los dos ciclos:
La base de groebner de orden lex es también tres ecuaciones de las cuales la última es
$z(z^{2} - 6z + 12)(z^{24} + 6z^{23} + 24z^{22} + 72z^{21} + 144z^{20} - 1728z^{18} + 549504z^{17} + 2198016z^{16} + 6594048z^{15} + 73654272z^{14} + 1330255872 z^{13} + 2744119296z^{12} + 4371480576z^{11} + 159702368256z^{10} + 244014612480 z^{9} + 97175863296z^{8} - 239929786368z^{7} + 91431307837440z^{6} - 66223716905 7792z^{5} + 907646642159616z^{4} + 874520852299776z^{3} - 1271287322247168z^{2} - 708829985636352z + 8916100448256)=0$
Tal vez sea difícil de ver, pero se trata de un polinomio univariado en $z$ . Vemos el factor $z(z^{2} - 6z + 12)$ que nos da las soluciones para $x=y=z$ como indica @user141421. Para las otras soluciones se encuentran otras raíces del polinomio y luego se sustituyen en las ecuaciones restantes de la base de Groebner. Muchas de estas soluciones son probablemente complejas.
Usé sympy para encontrar la base de groebner de orden lex.
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