Tenemos $n$ , dados justos de 6 caras. En cada momento $n$ Los dados se lanzan de forma independiente. Quiero calcular la probabilidad del número de veces que debemos lanzar los dados antes de tener al menos un 6 de cada uno de ellos.
Sabemos que para que un dado tenga un 6, la probabilidad de $k$ fallos obedece a una Distribución Geométrica con $p=1/6$ y la expectativa de 6.
¿Cómo puedo ampliar esto a $n$ ¿dados?
Etiquetar los dados $1$ a $n$ . Sea $X_1$ sea el número de lanzamientos del primer dado hasta obtener un $6$ . Definir las variables aleatorias $X_2, X_3,\dots, X_n$ análogamente.
Dejemos que $Y=\max(X_1,X_2,\dots,X_n)$ . Su pregunta pide una expresión para $\Pr(Y=y)$ .
Es más fácil encontrar $\Pr(Y\le y)$ . Eso lo hará, porque $$\Pr(Y=y)=\Pr(Y\le y)-\Pr(Y\le y-1).\tag{$ 1 $}$$
Ahora vamos tras $\Pr(Y\le y)$ . Tenemos $Y\le y$ si tenemos al menos una $6$ en todos los dados por tiempo $y$ .
La probabilidad de que haya al menos un $6$ en el troquel $1$ por tiempo $y$ es $1$ menos la probabilidad de no $6$ Así que es
$$1-\left(\frac{5}{6}\right)^y.$$ Para $n$ dados, toma el $n$ -en la potencia. Obtenemos $$\Pr(Y\le y)= \left(1-\left(\frac{5}{6}\right)^y\right)^n.$$ Ahora usa $(1)$ .
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