Comportamiento de la norma puntual del gradiente con respecto a las condiciones de contorno en las EDP elípticas

Question

Dejemos que $B\subset \mathbb{R}^2$ sea alguna bola abierta en el interior de un dominio (bonito) $\Omega$ y $y_i\in H_0^1(\Omega)\cap H^2(\Omega)$ para $i=1,2$ .

Si sé que \begin{align} &\bullet\quad -\Delta y_i=1 \text{ for } i=1,2 \text{ on } B\\ &\bullet\quad 0\leq y_1(x)\leq y_2(x) \text{ on } \bar{B}\\ \end{align} ¿Significa esto que hay un $x\in \bar{B}$ tal que $|\nabla y_1(x)|\leq |\nabla y_2(x)|$ ?

Las estimaciones habituales del gradiente de Gilbard-Trudinger no parecen ayudar. Gracias de antemano.

Answer 1

Creo que deberías ser capaz de hacerlo.

La idea es que dejes $y_2$ sea lo más plana posible, con valores límite grandes (así $y_2 = \frac{x^2}{2n} + M$ para algunos grandes $M > 0$ ).

Entonces dejas que $y_1 = \frac{x^2}{2n} + B \cdot x + C$ para un valor muy grande de $B$ y los correspondientes $C$ para que el término del gradiente de $B$ supera a la del término cuadrático. Esto no es tan grande $y_1$ siempre se permite que sea mayor que $M$ - ya que puede hacer $M$ tan grande como quieras, esto funciona.