Encuentre $P(X<3)$ y $E(X)$

Question

Estoy un poco confundido con encontrar $P(X<3)$ y $E(X)$ . Ya hice esta pregunta antes, pero nadie respondió. Aquí, $A$ , $B$ , $C$ son variables aleatorias de Poisson con parámetros $2.6$ , $3$ y $3.4$ respectivamente. Sea $X$ sea el número de errores tipográficos en un manuscrito. Cada uno de los tres mecanógrafos $A$ , $B$ , $C$ tienen la misma probabilidad de escribir el manuscrito con las tasas de error dadas. Para el

$E(X)=\frac{1}{3}(2.6+3.4+3)=3$

pero no estoy seguro. También tengo problemas para entender $P(X<3)$ . Estoy recibiendo:

$\begin{align*}P(X<3) &= \left(\frac{1}{3}\right)\left(e^{-3.4}\frac{3.4^2}{2!}+e^{-2.6}\frac{2.6^2}{2!}+e^{-3}\frac{3^2}{2!}\right)\\&+\left(\frac{1}{3}\right)\left(e^{-3.4}\frac{3.4^1}{1!}+e^{-2.6}\frac{2.6^1}{1!}+e^{-3}\frac{3^1}{1!}\right)\\&+\left(\frac{1}{3}\right)\left(e^{-3.4}\frac{3.4^0}{0!}+e^{-2.6}\frac{2.6^0}{0!}+e^{-3}\frac{3^0}{0!}\right)\\&=0.42711.\end{align*}$

pero siento que está mal. ¿Puede alguien explicarme esto?

Answer 1

Hay que utilizar la ley de la Probabilidad Total.

Recordemos que $E[X] = \sum_{k=1}^\infty kP(X = k)$ . Escribimos : $$ P(X = k) = P(X = k \mid A)P(A) + P(X = k \mid B)P(B) + P(X = k \mid C) P(C) $$

donde $P(X = k \mid A)$ es la probabilidad de que $A$ hace exactamente $k$ errores (de forma similar para $B,C$ ) y $P(A)$ es la probabilidad de que $A$ se elige el tipo (de forma similar $B,C$ ).

A partir de aquí, también obtenemos : \begin{align} E[X] &= \sum_{k=1}^\infty k[ P(X = k \mid A)P(A) + P(X = k \mid B)P(B) + P(X = k \mid C)P(C)] \\ &= \frac 13\sum_{k=1}^\infty k[P(X = k \mid A) + P(X = k\mid B) +P(X = k\mid C)] \\ &= \frac 13\left(\sum_{k=1}^\infty kP(X = k\mid A) + \sum_{k=1}^\infty kP(X = k\mid B)+\sum_{k=1}^\infty kP(X = k\mid C)\right) \\ &= \frac 13\left(E[X \mid A] + E[X\mid B] + E[X \mid C]\right) \\ &= \frac 13(2.6+3.4+3) = 3 \end{align}

Lo que has hecho para la segunda parte también es correcto y está justificado por : $$ P(X < 3) = P(X =0) + P(X = 1) + P(X = 2) \\ = \sum_{i=0}^2 P(X = i | A)P(A) + P(X = i|B)P(B) + P(X = i|C)P(C) $$

¡Que es exactamente lo que has computado arriba! He comprobado las fórmulas y la expresión larga parece estar bien. Si usted está encontrando un error después de comprobar con un amigo / libro de texto, comprobar los cálculos.

EDIT : Los cálculos son $\color{blue}{\mathrm{fine!}}$

Answer 2

Ambas cosas son correctas. Dejemos que $T_A$ , $T_B$ , $T_C$ ser los eventos que el manuscrito es mecanografiado por $A, B, C$ respectivamente. La distribución condicional de $X$ dado $T_A$ es Poisson con parámetro $2.6$ y de forma similar para $T_B$ y $T_C$ con parámetros $3$ y $3.4$ . Desde $T_A$ , $T_B$ y $T_C$ son mutuamente excluyentes y exhaustivos,

$$ \mathbb E[X] = \mathbb P(T_A) \mathbb E[X\mid T_A] + \mathbb P(T_B) \mathbb E[X\mid T_B] + \mathbb P(T_C) \mathbb E[X\mid T_C]$$

Asimismo,

$$ \mathbb P(X < 3) = \mathbb P(T_A) \mathbb P(X < 3 \mid T_A) + \mathbb P(T_B) \mathbb P(X < 3 \mid T_B) + \mathbb P(T_C) \mathbb P(X < 3 \mid T_C) $$