Lógica correcta de la permutación de 5 hombres y 5 mujeres para hallar la probabilidad de diferentes rangos de mujeres más altos

Question

El problema es así:

Problema
Cinco hombres y $5$ las mujeres se clasifican en función de su puntuación en un examen. Supongamos que no hay dos puntuaciones iguales y que todas $10!$ las posibles clasificaciones son igualmente probables. Dejemos que $X$ denotan el mayor rango alcanzado por una mujer. (Por ejemplo, $X = 1$ si la persona mejor clasificada es una mujer). Encuentre $P(X = i),i = 1, 2, 3, . . ., 8, 9, 10$ .

La solución dada fue:

• $P(X=1)= \frac{5}{10}= \frac{1}{2}$ porque hay 5 mujeres y un total de 10 para elegir
• $P(X=2)=\frac{5}{10}\times \frac{5}{9}=\frac{5}{18}$ porque para el rango 1 hay 5 hombres y un total de 10 para elegir, para el rango 2 (queremos una mujer) todavía tenemos 5 mujeres pero sólo un total de 9 para elegir.
• $P(X=3)=\frac{5}{10}\times \frac{4}{9}\times \frac{5}{8}=\frac{5}{36}$
• $P(X=4)=\frac{5}{10}\times \frac{4}{9}\times \frac{3}{8}\times \frac{5}{7}=\frac{10}{168}$
• $P(X=5)=\frac{5}{10}\times \frac{4}{9}\times \frac{3}{8}\times \frac{2}{7}\times \frac{5}{6}=\frac{5}{252}$
• $P(X=6)=\frac{5}{10}\times \frac{4}{9}\times \frac{3}{8}\times \frac{2}{7}\times \frac{1}{6}\times \frac{5}{5}=\frac{1}{252}$

Mi solución fue

• $P(X=1)=\frac{5\times 9!}{10!}=\frac{1}{2}$ porque hay cinco mujeres para ocupar el 1er rango y luego quedaron 9 que pueden permutar en $9!$ formas. Hay un total de $10!$ formas de permutar $10$ personas
• $P(X=2)=\frac{5\times \binom{5}{4}\times 8!}{10!}=\frac{5}{18}$ porque hay cinco mujeres para ocupar el segundo puesto. El 1er rango será de un hombre. Así que tenemos que seleccionar $4$ de $5$ hombres que se clasificarán después de $2$ ndose en el rango. Estos cuatro hombres y las 4 mujeres restantes pueden permutarse en $8!$ formas.
• $P(X=3)=\frac{5\times \binom{5}{3}\times 7!}{10!}=\frac{5}{72}$
• $P(X=4)=\frac{5\times \binom{5}{2}\times 6!}{10!}=\frac{5}{504}$
• $P(X=5)=\frac{5\times \binom{5}{1}\times 5!}{10!}=\frac{5}{6048}$
• $P(X=6)=\frac{5\times \binom{5}{0}\times 4!}{10!}=\frac{1}{30240}$

Dudas

1. ¿Dónde se equivocó mi lógica?
2. Cuando comparé los dos enfoques, me di cuenta de que la solución del libro es permutar los rangos más altos que la chica mejor clasificada, mientras que mi solución es permutar los rangos más bajos que la chica mejor clasificada. Así que estaba adivinando lo que hace que la solución del libro no permute los rangos inferiores y mi solución no permute los rangos superiores. ¿No deberíamos permutar a ambos lados de la chica mejor clasificada?

Answer 1

En sus cálculos,

• $5$ es el número de posibles mujeres de primera fila
• $\binom{5}{k}$ es el número de formas $k$ de los cinco hombres puede tener un rango inferior al de la mujer mejor clasificada
• $(9 - k)!$ es el número de formas de organizar el $9 - k$ personas cuya clasificación es inferior a la de la mujer mejor clasificada
• $10!$ es el número de secuencias posibles de clasificaciones

En tus numeradores, te faltó multiplicar por el número de vías a los hombres que son seleccionados antes de la primera mujer. Observe que \begin{align*} P(X = 1) & = \frac{0! \cdot 5 \cdot \binom{5}{5} \cdot 9!}{10!} = \frac{1}{2}\\ P(X = 2) & = \frac{1! \cdot 5 \cdot \binom{5}{4} \cdot 8!}{10!} = \frac{5}{18}\\ P(X = 3) & = \frac{2! \cdot 5 \cdot \binom{5}{3} \cdot 7!}{10!} = \frac{5}{36}\\ P(X = 4) & = \frac{3! \cdot 5 \cdot \binom{5}{2} \cdot 6!}{10!} = \frac{5}{84}\\ P(X = 5) & = \frac{4! \cdot 5 \cdot \binom{5}{1} \cdot 5!}{10!} = \frac{5}{252}\\ P(X = 1) & = \frac{5! \cdot 5 \cdot \binom{5}{0} \cdot 4!}{10!} = \frac{1}{252} \end{align*} La razón por la que obtuvo la respuesta correcta para $X = 1$ y $X = 2$ es que $0! = 1! = 1$ .

Nota: El autor o autores de su texto están calculando la probabilidad de que la mujer mejor clasificada esté en el $k$ posición. Para ello, debemos seleccionar $k - 1$ de los cinco hombres que se clasifican por delante de ella y una de las cinco mujeres que ocupan el $k$ posición mientras se elige $k$ de la $10$ personas. Por lo tanto, la respuesta en el texto es equivalente a \begin{align*} P(X = 1) & = \frac{\binom{5}{0}\binom{5}{1}}{\binom{10}{1}} = \frac{1}{2}\\ P(X = 2) & = \frac{\binom{5}{1}\binom{5}{1}}{\binom{10}{2}} = \frac{5}{18}\\ P(X = 3) & = \frac{\binom{5}{2}\binom{5}{1}}{\binom{10}{3}} = \frac{5}{36}\\ P(X = 4) & = \frac{\binom{5}{3}\binom{5}{1}}{\binom{10}{4}} = \frac{5}{84}\\ P(X = 5) & = \frac{\binom{5}{4}\binom{5}{1}}{\binom{10}{5}} = \frac{5}{252}\\ P(X = 6) & = \frac{\binom{5}{5}\binom{5}{1}}{\binom{10}{6}} = \frac{1}{252} \end{align*}

Answer 2

Me gustaría sugerir otra forma de obtener los resultados. Para mí esta forma es "combinatoriamente más intuitiva":

1. Si $X = i$ entonces hay $10-i$ rangos que quedan para el resto de $4$ mujeres. Por lo tanto, hay $\binom{10-i}{4}$ formas de elegir 4 rangos más.
2. Como cada permutación de la $5$ hombres y $5$ las mujeres da otra forma de clasificación que necesitamos multiplicar por $5! \cdot 5!$
3. Todo junto (da exactamente los valores de la solución presentada): $$P(X = i) = \frac{\binom{10-i}{4}\cdot5! \cdot 5!}{10!} = \frac{\binom{10-i}{4}}{252} \mbox{ for } i = 1,...,6$$