Acción de ciertos endomorfismos sobre el dual de Pontriyagin

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo finito y $F$ sea un campo algebraicamente cerrado en el que $|R|$ es invertible. ¿Existe un $F$ -carácter valioso $\chi$ de $(R, +)$ de manera que cada carácter $\psi$ es de la forma $\psi(a) = \chi(ab)$ para algunos $b \in R$ ? Si no es así, ¿se mantiene la afirmación cuando $R$ es conmutativo (o bajo cualquier otra suposición razonablemente agradable)?

Esto es cierto cuando $R$ es un campo finito. Creo que la afirmación en este caso se desprende de la no-degeneración de la forma de traza sobre el campo primo contenido en $R$ .

Cualquier referencia sería de gran ayuda.

Motivación: Esto aparece cuando estudiamos la teoría de la representación de grupos unipotentes. Supongamos que $U$ sea el subgrupo de matrices triangulares inferiores unipotentes en $GL_n(R)$ . Entonces los elementos de la forma $E_{\chi} = \sum_{M \in U} \chi(M_{2,1})M \in F[U]$ aparecen de forma natural donde $\chi$ es un $F$ -carácter valorativo de $(R, +)$ . No hay nada especial en $M_{2,1}$ se puede trabajar con cualquier "subgrupo raíz" cerrado. Ahora conjugando $E_{\chi}$ por un elemento del subgrupo de Cartan da como resultado $E_{\chi(.b)}$ para algunos $b$ por lo que resulta útil saber si todos los caracteres pueden obtenerse de este modo.

Answer 1

Llamar a un personaje $\chi$ (izquierda) generando si cada carácter es de la forma $\psi(a)=\chi(ab)$ para algunos $b\in R$ . Resulta que, cuando $R$ es finito, un carácter es generador de la izquierda si y sólo si es generador de la derecha (todo carácter tiene la forma $\psi(a) = \chi(ba) $ para algunos $b\in R$ ).

La respuesta a su pregunta es la siguiente:

Un anillo finito $R$ tiene un carácter generador si y sólo si $R$ es un finito Anillo de Frobenius .

Para una prueba, véase, por ejemplo:

Thomas Honold , MR 1831096 Caracterización de los anillos de Frobenius finitos , Arch. Math. (Basilea) 76 (2001), nº 6, 406--415.

Cuando el anillo es finito y conmutativo, esto equivale a $R$ que tiene un zócalo sin multiplicidad, o $R$ siendo un producto directo de anillos locales finitos con zócalo simple. (ver T. Y. Lam , MR 1653294 Conferencias sobre módulos y anillos , Thm. 15.27, y más generalmente §§15, 16 para más caracterizaciones y ejemplos y no ejemplos).

Su pregunta es bastante natural y aparece en otros contextos. Por ejemplo, aparece de forma natural al estudiar las sumas de Gauss sobre anillos finitos arbitrarios, como en una serie de trabajos de Lamprecht (citados en el trabajo de Honold), y en:
Fernando Szechtman , MR 1916077 Sumas cuadráticas de Gauss sobre anillos conmutativos finitos , J. Teoría de Números 95 (2002), nº 1, 1--13.

Esta propiedad de los anillos de Frobenius finitos también es relevante para la teoría de la codificación, véase

Jay A. Wood , MR 1738408 Dualidad para módulos sobre anillos finitos y aplicaciones a la teoría de la codificación , Amer. J. Math. 121 (1999), no. 3, 555--575.