Límite inferior de los ceros de la función de Bessel

Question

Quiero resolver el siguiente problema de la Introducción al Análisis de Arthur Mattuck:

Si $a_1$ es el primer cero positivo de $J_p(x)$ (suponer $p>0$ ), demuestre $a_1>p$ . (Sugerencia: deje que $c$ sea el máximo entre $0$ y $a_1$ . Mostrar $c>p$ sustituyendo $x=c$ en la ecuación de Bessel).

Mi intento:

He intentado seguir la pista. Primero porque $a_1$ es positivo por definición, no veo el sentido de definir $c=\max (0,a_1) =a_1$ . En segundo lugar, siendo la ecuación de Bessel $$x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + \left(x^2 - p^2 \right)y = 0, $$ Tengo $$a_1 J_p''(a_1)+J_p'(a_1)=0. $$ La cosa es que, sustituyendo $x=p$ da la misma restricción: $$p J_p''(p)+J_p'(p)=0. $$

Intenté trazar algunos gráficos, y efectivamente ambos $a_1$ y $p$ son puntos fijos de $$x \mapsto -\frac{J_p'(x)}{J_p''(x)}. $$

No veo cómo conseguir la ligazón solicitada. Se agradecería cualquier ayuda. Gracias.

Answer 1

La pista debía guiarnos hacia la definición de $c := \textrm{argmax}\{f(x), x \in [0,a_1]\}$ es decir, (uno de) los argumentos en los que $f$ alcanza su máximo entre $0$ y $a_1$ .

Sabemos que $f(c)>0$ porque, como un comentario notó, $f'(0) > 0$ implica que $f$ toma al menos algunos valores positivos. Por lo tanto, tenemos $f'(c) = 0$ y $f''(c) \leq 0$ . Pero esto implica que $0 = c^2 f''(c) + cf'(c) + (c^2-p^2)f(c) \leq (c^2 - p^2)f(c)$ y, por lo tanto, ya que $f(c)>0$ que $c^2 - p^2 \geq 0$ , dando lugar a $a_1 \geq c \geq p$ como se desee.