Ecuación diferencial de segundo orden complicada

Question

Así que tengo la siguiente ecuación, donde tenemos y en función de x: $$(y^2+(y')^2)^{3/2}=y(2(y')^2+y^2+yy'')$$

Se trata de una ecuación autónoma de segundo orden. Hago las siguientes sustituciones : $y\rightarrow p=y', x\rightarrow s=y(x) $

Tenemos $y''=\frac{d}{dx}y'=\frac{dp}{ds}\frac{ds}{dx}=p'p$

Así que nuestra ecuación ahora es $$(s^2+p^2)^{3/2}=s(2p^2+s^2+sp'p)$$

Esto puede convertirse en $\frac{dp}{ds}=\frac{(s^2+p^2)^{3/2}-2sp^2-s^3}{s^2p}\rightarrow ((s^2+p^2)^{3/2}-2sp^2-s^3)ds-(s^2p)dp=0$

Esta es una ecuación exacta, que no parece muy amigable. ¿Puede alguien sugerir una forma mejor de abordar la ecuación inicial? Si no, ¿puede alguien decirme un factor de integración para la ecuación exacta anterior? ¿Se puede resolver fácilmente la ecuación exacta?

Answer 1

Una pista:

$(y^2+(y')^2)^\frac{3}{2}=y(2(y')^2+y^2+yy'')$

$y^3\left(\dfrac{(y')^2}{y^2}+1\right)^\frac{3}{2}=y^3\left(\dfrac{y''}{y}+\dfrac{2(y')^2}{y^2}+1\right)$

$\left(\dfrac{(y')^2}{y^2}+1\right)^\frac{3}{2}=\dfrac{y''}{y}+\dfrac{2(y')^2}{y^2}+1$

Esto pertenece a una EDO de la forma http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0511.pdf .

Dejemos que $u=\dfrac{y'}{y}$ ,

Entonces $u'=\dfrac{y''}{y}-\dfrac{(y')^2}{y^2}=\dfrac{y''}{y}-u^2$

$\therefore\left(u^2+1\right)^\frac{3}{2}=u'+u^2+2u^2+1$

$u'=\left(u^2+1\right)^\frac{3}{2}-3u^2-1$