Valor esperado de la distribución exponencial con integración por partes (de forma no textual)

Question

Intento calcular el valor esperado de la distribución exponencial con integración por partes sin éxito. Sé que la forma de hacerlo en el libro de texto es quitar primero lambda de la integral y luego hacer la integración por partes. ¿Qué pasa si quiero calcularlo directamente? \begin{align} E[X]=\int_{0}^\infty x\lambda e^{-\lambda x} dx \end{align} Y ahora \begin{align} f(x)=x, \quad f'(x)=dx \end{align} y \begin{align} g'(x)=-\lambda e^{-\lambda x}dx, \quad g(x)= e^{-\lambda x} \end{align} Así que me gustaría empezar con \begin{align} E[X]=-\int_{0}^\infty x (-\lambda e^{-\lambda x}) dx. \end{align} ¿Es esto posible y, si no, por qué no?

Answer 1

En este caso es mucho más fácil utilizar el hecho (que se deriva del teorema de Tonelli) de que para una variable aleatoria no negativa $X$ con media finita, $\mathbb E[X] = \int_0^\infty (1-F_X(x))\ \mathsf dx$ con $F_X$ siendo la función de distribución de $X$ . Por lo tanto, $$ \mathbb E[X] = \int_0^ \infty e^{-\lambda t}\ \mathsf dt = \frac1\lambda. $$