Utilizaré el término cadena en lugar de parte totalmente ordenada .
Dejemos que $\mathscr{C}$ sea una cadena no vacía en $\langle C(M),\subseteq\rangle$ . Queremos demostrar que hay una $S\in C(M)$ tal que
- $C\subseteq S$ para cada $C\in\mathscr{C}$ y
- si $T\in C(M)$ y $C\subseteq T$ para cada $C\in\mathscr{C}$ entonces $S\subseteq T$ .
Siempre que la orden sea $\subseteq$ el candidato natural para el supremum de una colección es la unión de esa colección, así que probamos a dejar que $S=\bigcup\mathscr{C}$ .
Lo primero que hay que comprobar es que $S\in C(M)$ Es cierto que $S$ es una cadena en $\langle A,R\rangle$ ? Supongamos que $a,b\in S$ ; luego hay $C_a,C_b\in\mathscr{C}$ tal que $a\in C_a$ y $b\in C_b$ . $\mathscr{C}$ es una cadena en $\langle C(M),\subseteq\rangle$ por lo que, sin pérdida de generalidad, podemos suponer que $C_a\subseteq C_b$ . Pero entonces $a,b\in C_b$ Así que, o bien $a\mathrel{R}b$ o $b\mathrel{R}a$ y $S$ es efectivamente una cadena en $M$ .
Te dejo que compruebes los dos puntos; el primero es obvio, y el segundo casi.
Hay un candidato igualmente natural para el infimo de $\mathscr{C}$ ; dejaré su identidad en el bloque protegido por spoilers que hay más abajo. Comprobar que funciona es, si cabe, aún más fácil.
Considere $\bigcap\mathscr{C}$ .
