Ecuación de Laplace fuera del cilindro finito

Question

Estoy tratando de encontrar una solución a la ecuación de Laplace en el exterior un cilindro finito de radio $a$ y la altura $h$ con la condición de que $u=\frac{c}{\rho}$ . donde $c$ es una constante y $\rho$ es la coordenada radial.

Así que estamos tratando de resolver $\nabla^2 u=0$ en todas partes.

Pregunta 1: ¿Es seguro aplicar la separación de variables para resolver esto? No estoy del todo seguro de que sea así debido a la geometría no trivial y a las BC

Pregunta 2 : Asumiendo que podemos realizar la separación de variables escribimos $u=R(\rho)Z(z)$ y nos damos cuenta de que no habrá $\phi$ componente debido a la simetría. Por lo tanto, obtenemos $$\frac{d^2Z}{dz^2}-k^2Z=0$$ $$\frac{d^2R}{d\rho^2}+\frac{1}{\rho}\frac{dR}{d\rho}+\left(k^2-\frac{m^2}{\rho^2}\right)R=0$$

¿Alguien tiene alguna idea de cómo se podría resolver esto?

Answer 1

Es una EDP lineal homogénea, por lo que la separación de variables debería funcionar aquí.

Uso del Ansatz $u(\rho,z)=R(\rho)(Z(z)$ coordenadas cilíndricas para $\nabla^2u$ e ignorando el término obsoleto en $\phi$ nos encontramos con que:

$$\frac{u_{\rho}}{\rho}+u_{\rho \rho}+u_{zz}=0$$

Pues eso:

$$\frac{R'}{\rho R}+\frac{R''}{R}+\frac{Z''}{Z}=0$$

Separación:

$$\frac{R'}{\rho R}+\frac{R''}{R}=-\frac{Z''}{Z}=-k^2$$

donde $k$ es un número real.

Las ODEs:

$$Z''-k^2Z=0$$

$$\rho R''+R'+k^2 \rho R=0$$

Así que no estoy seguro de dónde sacas tu segunda ODE y $m$ de? Dos variables ( $z$ y $\rho$ ) sólo requieren una constante de separación, no dos.

La segunda EDO es una ecuación de Sturm Liouville y resuelve a :

$$R(\rho)=C_1J_0(k \rho)+C_2Y_0(k \rho)$$

Answer 2

Como tu cilindro tiene una altura finita, no puedes llegar muy lejos con la separación de variables. Puedes hacerlo, por supuesto (ver otra respuesta), pero no hay razón para creer que tu campo potencial sea cilíndrico en todas partes, y como sospechas vas a tener problemas con las condiciones de contorno, especialmente en las "tapas" de tu cilindro.

Answer 3

@ZeroTheHero: Por supuesto que la solución tiene simetría cilíndrica -- siempre que la condición de contorno en el cilindro sea simétrica. Por ejemplo, consideremos un cilindro conductor cargado. El potencial es constante en el cilindro (por tanto, simétrico) y $u =Q/r$ una larga distancia, con $Q$ la carga en el cilindro.

@Gert lo tiene claro, al menos para cualquier problema en el que la condición de contorno sea independiente del ángulo acimutal. Esto no es necesario: la simetría de la solución es irrelevante (a pesar de @ZeroTheHero); más que simetría, la elección de las coordenadas cilíndricas es para que los límites correspondan a condiciones lineales sobre una variable, por ejemplo, el lado del cilindro corresponde a $\rho=a$ . Si la condición de contorno depende de \phi entonces se utiliza $J_m$ y $Y_m$ sumado sobre todos los m, no sólo sobre $m=0$ . Este es el material estándar de los libros de texto.

Pero es posible que tengas que dividir el problema en varias regiones para aplicar las condiciones de contorno. Si el cilindro está en $\rho=a$ entre $z=0$ y $z=h$ entonces cuento cinco regiones:

1. $z\ge h$ , $\rho\le a$
2. $z\ge h$ , $\rho\ge a$
3. $z\le 0$ , $\rho\le a$
4. $z\le 0$ , $\rho\ge a$
5. $0\le z\le h$ , $\rho\ge a$

y además de la condición de contorno en el cilindro hay condiciones de contorno (de continuidad y suavidad del campo eléctrico) en la frontera entre cualquiera de estas regiones.