Lo que sigue es esencialmente una versión ampliada de la demostración de la Proposición 4.2 en el hermoso artículo de Ghys Grupos que actúan sobre el círculo .
Es conveniente traducir la pregunta en una pregunta sobre funciones continuas en $\mathbb{R}$ . Ver el círculo $S^1 = \mathbb{R}/\mathbb{Z}$ como cociente de $\mathbb{R}$ una función continua $f\colon S^1 \to S^1$ puede levantarse sobre la proyección de la cubierta $\pi \colon \mathbb{R} \to S^1$ a una función continua $F \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $f \circ \pi = \pi \circ F$ en el dominio fundamental $[0,1)$ la función $F$ se determina por $f$ hasta la adición de un número entero, y una vez elegido ese número entero, sólo hay una forma de ampliar $F$ continuamente a todos los $\mathbb{R}$ .
Una función continua $F \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es la elevación de una función continua $f \colon S^1 \to S^1$ si y sólo si hay $d \in \mathbb{Z}$ tal que para todo $x$ la ecuación $F(x+1) = F(x) + d$ se mantiene. No es difícil ver que $d = \deg{f}$ . Usando esto [o por consideraciones elementales con el teorema del valor intermedio] vemos que $f$ sólo puede ser un homeomorfismo si $d = \pm 1$ Los ascensores de un homeomorfismo deben satisfacer $F(x+1) = F(x) \pm 1$ . El ascensor $F$ de un homeomorfismo $f$ es un homeomorfismo porque las biyecciones continuas $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tienen inversos continuos.
Dejemos que $\tilde{H} = \operatorname{Homeo}_\mathbb{Z}(\mathbb{R})$ sea el grupo de homeomorfismos $F \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $F(x+1) = F(x) +1$ . La topología compacta-abierta en $\tilde{H}$ coincide con la topología uniforme y se metriza por $d(F,G) = \sup_{x \in [0,1]} \lvert F(x) - G(x)\rvert$ desde $F-G$ es $1$ -periódico. Si $F,G \in \tilde{H}$ entonces sus combinaciones convexas $(1-t)F + tG$ pertenecen a $\tilde{H}$ para todos $t \in [0,1]$ : son estrictamente crecientes y suryentes. El mapa $$h\colon [0,1] \times \tilde{H} \times \tilde{H} \longrightarrow \tilde{H}, \quad(t,F,G) \longmapsto (1-t)F + tG$$ es claramente continua. Esto demuestra que $\tilde{H}$ es contraíble, ya que podemos tomar $G$ para ser la identidad $G(x) = x$ y para todos $F \in \tilde{H}$ tenemos $h(0,F,G) = F$ y $h(1,F,G) = G$ .
El mapa $F \mapsto f$ enviando $F \in \tilde{H}$ al homeomorfismo de $S^1$ que cubre es un homomorfismo continuo $p\colon \tilde{H} \to H = \operatorname{Homeo}_+(S^1)$ en el grupo de preservación de la orientación homeomorfismos (es decir, aquellos $f \colon S^1 \to S^1$ preservando el orden cíclico de los triples de puntos distintos en el círculo). El núcleo de $p$ puede identificarse con $\mathbb{Z} = \langle \tau \rangle$ generada por la traslación de la unidad $\tau(x) = x + 1$ . De hecho, $p$ identifica $\tilde{H}$ con el grupo de cobertura universal de $H$ .
Observe que $f = p(F)$ es una rotación con ángulo $[\alpha] \in \mathbb{R/Z}$ si y sólo si $F(x) = x + \alpha$ es una traducción.
Ahora, fíjese en que cada $F \in \tilde{H}$ puede escribirse de forma única como $F(x) = x + \alpha_F + \varphi_F(x)$ con $\alpha_F = \int_{0}^1 [F(x)-x]\,dx \in \mathbb{R}$ y $\varphi(x) = F(x) - x -\alpha$ es un $1$ -periódica con media cero: $\int_{0}^1 \varphi(t)\,dt = 0$ . Desde $F_n \to F$ en $\tilde{H}$ significa convergencia uniforme, vemos que $\alpha_F$ y $\varphi_F$ dependen continuamente de $F$ . Así, el mapa $$ \tilde{k} \colon [0,1] \times \tilde{H} \longrightarrow \tilde{H} \quad \tilde{k}(t,F) = x + \alpha_F + (1-t)\varphi_F $$ es continua y $\tilde{k}(0,F) = F$ mientras que $\tilde{k}(1,F) = x+\alpha_F$ cubre una rotación, es decir, un elemento de $SO(2)$ . Si $F(x) = x + \alpha$ es una traducción, entonces $\tilde k(t,F) = F$ para todos $t \in [0,1]$ Así que $\tilde k$ es constante en el grupo de traslaciones.
Para dos ascensores $F_1(x) = x + \alpha_{F_1} + \varphi_{F_1}(x)$ y $F_{2}(x) = x + \alpha_{F_2} + \varphi_{F_2}(x)$ del homeomorfismo $f \colon S^1 \to S^1$ tenemos $\varphi_{F_1} = \varphi_{F_2}$ y $\alpha_{F_1} - \alpha_{F_2} \in \mathbb{Z}$ . Esto implica que $\tilde{k}(t,F_1)$ y $\tilde{k}(t,F_2)$ cubren el mismo homeomorfismo de $S^1$ y por lo tanto $\tilde{k}$ da lugar a un mapa continuo $k\colon [0,1] \times H \to H$ que es una retracción de la deformación de $\operatorname{Homeo}_+(S^1)$ a $SO(2)$ .
El argumento para el grupo de todos los homeomorfismos de $S^1$ es esencialmente la misma: Si $f$ invierte la orientación entonces sus ascensos son de la forma $F(x+1) = F(x) - 1$ y $F$ es estrictamente decreciente. Ahora definamos $\alpha_F = \int_{0}^1 [F(x) + x]\,dx$ y $\varphi_F = F + x - \alpha_F$ para obtener una homotopía de $F$ a $\alpha_F - x$ , cubriendo la reflexión en la línea con ángulo $\alpha_F/2$ .
