Interpretación del oscilador de masa del muelle

Question

Tengo algunos problemas para predecir el comportamiento de las EDO utilizando la analogía masa-muelle. Por ejemplo, considere el PIV de segundo orden que aparece a continuación: $$y’’ – \space 6y’ + 8y = 0, \space \space \space \space y(0) = 2, \space \space y’(0) = -8$$ Ahora creo que la condición inicial de $y(0) = 2$ indica que el desplazamiento original del muelle desde el equilibrio es de 2 unidades, pero podría estar equivocado en eso. No tengo ni idea de qué $y’(0) = -8$ significa intuitivamente, así que eso es lo primero que espero que se aclare (es decir, interpretar las condiciones iniciales).

A continuación, entiendo que cada coeficiente significa cosas diferentes. De la ecuación anterior veo que hay una masa inercial de 1, un factor de amortiguación de -6, y un factor de rigidez de +8. Como el factor de amortiguación es negativo creo que el muelle no convergerá, pero fuera de eso no estoy seguro de cómo interpretar los otros coeficientes. Así que, como otra pregunta, ¿cómo saber cuándo la solución oscilará con el aumento de la distancia, o se irá al infinito positivo/negativo, o simplemente oscilará, etc.

Realmente estoy buscando consejo para interpretar cuál será el comportamiento del muelle para los 8 escenarios diferentes cuando los coeficientes son positivos y negativos. Ya estoy planeando conectar algunos ejemplos usando wolfram alpha para ver lo que sucede, pero obtener una comprensión más profunda del foro definitivamente ayudará. Cualquier consejo y ayuda con esto sería muy apreciado.

Editar: Más concretamente, me interesa saber cómo se comporta la solución gráficamente a lo largo del tiempo.

Answer 1

Tienes razón en que la interpretación natural es que la masa es $1$ y la fuerza restauradora es $8$ pero la ecuación podría multiplicarse por cualquier constante. Esto podría describir igualmente una masa de $10$ y una fuerza restauradora de $80$ . En cualquier caso, la frecuencia natural a la que vibraría sin fricción es $\sqrt 8$ . Que el factor de amortiguación sea negativo no es normal para la fricción. Si aislamos la aceleración tenemos $y''=6y'-8y$ por lo que la aceleración debida al rozamiento está en la misma dirección que la velocidad.

Como se mencionó anteriormente, multiplicar por una constante no cambia el comportamiento, incluso si la constante es negativa. Sólo hay que tener en cuenta cuatro patrones de signos. Yo sugeriría trabajar con la ecuación en la forma $y''=ky'+my$ ya que muestra claramente el signo de la aceleración de cada término. Como usted dice, $k$ debe ser menor que cero, ya que esperamos que el rozamiento provoque una aceleración opuesta a la velocidad. De lo contrario, algo está añadiendo energía al sistema. También esperamos que $m$ sea menor que cero, ya que queremos una fuerza restauradora: queremos que la aceleración sea de signo contrario al desplazamiento.

Añadido: Si empiezas con una ecuación de segundo orden como esta, $y''+by'+cy=0$ se puede aprender mucho factorizando la ecuación cuadrática similar $t^2+bt+c=0$ . Si las raíces son $r,s$ la solución (a menos que sea un cuadrado perfecto) es $A\exp(rt) + B\exp(st)$ . Si las raíces son reales, no habrá comportamiento oscilatorio. Si las raíces son complejas el $it$ en la exponencial da la oscilación.