¿Es la función $e^{-Bx^2}$ una contracción en $\mathbb{R}$ ? ( $B>0$ )

Question

El título lo dice todo. Creo que es cierto, y traté de demostrarlo mostrando que la derivada de esta función: $-2Bxe^{-Bx^2}$ está acotado por arriba con un límite inferior a 1, para ello he intentado utilizar series de Taylor de $e^{-Bx^2}$ pero parece que eso no lleva a ninguna parte. ¿Alguna sugerencia?

Aquí $B>0$ es un número real y consideramos la norma euclidiana.

Answer 1

Quiere comprobar si el máximo de $|f'|$ es menor que $1$ . Así que toma una derivada más:

$$f''(x)=-2Be^{-Bx^2}+4B^2x^2e^{-Bx^2}.$$

Esto es cero si y sólo si $4B^2x^2-2B=0$ es decir $x^2=1/(2B)$ . En estos puntos tienes $|f'(x)|=2^{1/2} B^{1/2} e^{-1/2}$ . Se puede comprobar que estos deben ser los puntos donde $|f'|$ es mayor desde $f'(0)=0$ y $f'(x) \to 0$ como $x \to \pm \infty$ . Está claro que esto crece sin límite en función de $B$ Así que $e^{-Bx^2}$ no puede ser una contracción para todo $B$ .

Answer 2

Supongamos que $f$ es una contracción con rango $\lambda <1$ . En particular, debemos tener $|f'(x)| \le \lambda$ para todos $x$ o equivalentemente ${2B|x| \over e^{B x^2}} \le \lambda$ para todos $x$ .

Si elegimos $B> ({e \over 2})^2$ entonces $f'(-{1 \over \sqrt{B}}) = { 2 \sqrt{B} \over e} > 1$ .

Más concretamente, dejemos que $B=e^2$ entonces $f'(-{1 \over e}) = 2$ .