Demostrar que $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ es divisible por $3, \forall x \in \mathbb{Z}$ .

Question

Actualización: Siento que estoy haciendo algo muy mal aquí.

Gracias a todos por las grandes sugerencias. Voy a tomar las sugerencias y tratar de acortar mi prueba. De nuevo, ¡os agradezco a todos!

Demuestra que $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ es divisible por $3, \forall x \in \mathbb{Z}$ .

Hola, de nuevo. Espero que subir una imagen de mi prueba sea aceptable. Escribir la prueba sería doloroso, pero si es necesario escribir la prueba para recibir ayuda, entonces lo haré.

He intentado esta prueba utilizando varios métodos: directo, de contradicción y de inducción. Prueba directa utilizando el grupo aditivo de $\mathbb{Z_3}$ era lo único que parecía funcionar. Sin embargo, cuando elijo un entero fuera del grupo, sigo encontrando que tengo el mismo resultado. No sé si eso está bien. No sé si esta prueba es totalmente defectuosa o no. Gracias a todos por vuestra ayuda y paciencia.

Answer 1

Su prueba es larga, pero correcta. Si usted sabe acerca de coeficientes binomiales se puede escribir el polinomio como $$ x^3-6x^2+11x-6=6\binom{x-1}{3} $$ lo que demuestra que su polinomio es siempre divisible por $6$ para $x\in\mathbb{Z}$ y, por lo tanto, por $3$ .

Answer 2

Creo que tu prueba es demasiado larga. Tienes que demostrar que esta expresión es congruente con $0\bmod 3$ Así que utiliza las congruencias, y recuerda que lil' Fermat afirma que $x^3\equiv x\mod 3$ para cualquier $x$ .

Answer 3

Tu prueba es correcta pero vas por el camino más largo para resolver el problema.

No es que para un número entero $x$ tenemos $$x^3 - 6x^2 + 11x - 6\equiv x^3-x \equiv x(x-1)(x+1) \pmod 3 $$

Así, tienes tres enteros consecutivos y uno de ellos es múltiplo de 3

Answer 4

Creo que tu prueba es demasiado larga, pero impecable .

Porque todo entero es uno de los $3n, 3n+1, 3n+2$ forma, y tú probaste en cada forma.

Pero estoy de acuerdo con Bernard, tu prueba es demasiado larga.

La forma básica de probarlo es utilizando $x^3-6x^2+11x-6=(x-1)(x-2)(x-3)$ y debe ser múltiplo de 3 en $3n, 3n+1, 3n+2$ de cada uno.

Answer 5

Me gusta su prueba aquí hay otra alternativa.

Como se trata de un cubo, intentemos completar el cubo

$$x^3-6x^2+11-6 = (x-2)^3-x + 2 = (x-2)((x-2)^2-1)=(x-2)(x^2-4x+3)=(x-1)(x-2)(x-3).$$

Para cualquier $x\neq1,2,3$ O bien $x-1$ , $x-2$ o $x-3$ será divisible por tres ya que son tres números consecutivos. Ten en cuenta también que al menos uno de los factores es par, por lo que tu expresión no sólo es divisible por 3, ¡sino que es divisible por 6!