Demuestra que curl(grad f) = 0, utilizando la notación de índice

Question

Queremos demostrar $${\mbox grad(curl f)} = 0$$

$$\nabla \times (\nabla f) = \epsilon_{ijk}\partial_j\partial_kf$$

Desde aquí,

$$\nabla \times (\nabla f) = \epsilon_{ijk}\partial_j(f' \frac{r_k}{r})$$

Intenté diferenciar $(f' \frac{r_k}{r})$ con respecto a $\partial_j$ sin embargo no ha podido conseguir el 0.

Se agradecería cualquier ayuda, gracias.

Answer 1

$\partial_k\partial_jf=\partial_j\partial_k f$ Sin embargo, $\epsilon_{ijk}=-\epsilon_{ikj}$ . Por lo que su segundo sumatorio siempre da $0$