Una solución aproximada de una ecuación diferencial de segundo orden

Question

En el libro, Métodos matemáticos para estudiantes de física y campos afines, segunda edición de Sadri Hassani, página 667, el autor ha afirmado que, para la siguiente ecuación diferencial

$y''(x) - x^2 y(x) \approx 0$ ,

donde $x \to \infty$ se puede fácilmente obtener una solución aproximada de la forma $e^{\pm x^2/2}$ .

¿Existe algún enfoque para obtener esta solución? además de resolver la ecuación diferencial exacta $y''(x) - x^2 y(x) = 0$ por el método de Frobenius, y luego tomando el límite de las soluciones (polinomios de Hermite) como $x \to \infty$ ?

Answer 1

En general, la ecuación $y''-qy=0$ con $0<q(x)\to\infty$ para $x\to\infty$ tiene la aproximación WKB (ver wikipedia, este es un ejemplo estándar) de soluciones de base $$ y(x)=q(x)^{-\frac14}\exp\left(\pm\int\sqrt{q(x)}dx\right) $$ donde el primer factor es el término de segundo orden en la expansión. Así que, efectivamente, en primer orden se obtendría $y(x)=\exp(\pm\frac{x^2}2)$ mientras que en el segundo orden, habría además un factor $\frac1{\sqrt{x}}$ .

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El enfoque consiste en establecer $y=\exp(S)$ con una expansión $S=S_0+S_1+S_2+...$ donde $S_0\gg S_1\gg S_2\gg...$ para $x\to\infty$ . Esta escala también se traduce en las derivadas. Juego para la brevedad $S'=s$ entonces aislando los componentes de igual escala en $s'+s^2-q=0$ da $$ s_0^2=q\\ s_0'+2s_0s_1=0\\\vdots $$ lo que implica $s_0=\pm\sqrt q$ y $s_1=-\frac{s_0'}{2s_0}\implies S_1=-\frac12\ln|s_0|=-\frac14\ln(q)$ .