¿La regla de L'Hôpital sólo es aplicable si existe el límite derecho?

Question

En una fuente que he estado leyendo, se hacía esta afirmación sobre la norma de L'Hôpital:

¿Por qué la regla de L'Hôpital sólo es aplicable si existe el límite de la derecha? ¿Por qué no el izquierdo? ¿Por qué no ambos? He leído otras fuentes sobre la regla de L'Hôpital que no la mencionan y me gustaría que me lo aclararan.

Este es el texto:

La regla de L'Hôpital: Supongamos que $f$ y $g$ son funciones diferenciables, y $f(a)=g(a)=0$ y supongamos que $g'(x)$ es distinto de cero en una vecindad de $a$ (excepto quizás en $a$ mismo). A continuación, $$\lim\limits_{x \to a} \ \frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x \to a} \ \frac{f'(x)}{g'(x)}$$ si el límite del lado derecho existe.

Answer 1

Hay casos en los que $\lim\frac{f(x)}{g(x)}$ existe pero $\lim\frac{f'(x)}{g'(x)}$ hace no existe. Por ejemplo, con $a=0$ :

$$ f(x) = x^2\sin(1/x) \qquad\qquad g(x) = x $$

Aquí $\lim\limits_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=0$ pero $\frac{f'(x)}{g'(x)}$ no tiene un límite para $x\to 0$ .

Por lo tanto, La regla de L'Hospital sólo puede ir en una dirección: Si ${f'(x)}/{g'(x)}$ resulta que tiene un límite ( y $f(x), g(x)$ ambos tienden a $0$ o $\infty$ ), entonces este es también el límite de ${f(x)}/{g(x)}$ .

Pero si ${f'(x)}/{g'(x)}$ hace no existe, entonces esto no es suficiente para concluir nada sobre si ${f(x)}/{g(x)}$ tiene un límite o no.

Answer 2

Mi ejemplo de bolsillo de dicho límite es $$ \lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin x}{x + \cos x}.$$ Este límite está muy claramente $1$ . Pero una aplicación de la regla de l'Hopital llevaría a considerar $$ \lim_{x \to \infty} \frac{1 + \cos x}{1 - \sin x},$$ ¡que no existe! Por lo tanto, la existencia del límite izquierdo no garantiza la existencia del límite derecho.