$\newcommand{\dd}{\partial}\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}\newcommand{\Basis}{\mathbf{e}}\newcommand{\Sph}{\mathbf{r}}$ Un matemático podría denotar las coordenadas esféricas por $$ \left[\begin{array}{@{}c@{}} x \\ y \\ z \\ \end{array}\right] = \Sph(\rho, \theta, \phi) = \left[\begin{array}{@{}c@{}} \rho\cos\theta\sin\phi \\ \rho\sin\theta\sin\phi \\ \rho\cos\phi \\ \end{array}\right]. $$ El derivado $D\Sph$ está representada por la matriz de derivadas parciales $$ \left[\begin{array}{@{}ccc@{}} \frac{\dd x}{\dd \rho} & \frac{\dd x}{\dd \theta} & \frac{\dd x}{\dd \phi} \\ \frac{\dd y}{\dd \rho} & \frac{\dd y}{\dd \theta} & \frac{\dd y}{\dd \phi} \\ \frac{\dd z}{\dd \rho} & \frac{\dd z}{\dd \theta} & \frac{\dd z}{\dd \phi} \\ \end{array}\right] = \left[\begin{array}{@{}c@{}} \cos\theta\sin\phi & -\rho\sin\theta\sin\phi & \rho\cos\theta\cos\phi \\ \sin\theta\sin\phi & \rho\cos\theta\sin\phi & \rho\sin\theta\cos\phi \\ \cos\phi & 0 & -\rho\sin\phi \\ \end{array}\right]. $$ Las columnas (normalizadas) $$ \frac{\dd\Sph}{\dd \rho} = D\Sph\, \Basis_{\rho},\qquad \frac{1}{\rho}\,\frac{\dd\Sph}{\dd \theta} = \frac{1}{\rho}\,D\Sph\, \Basis_{\theta},\qquad \frac{1}{\rho}\,\frac{\dd\Sph}{\dd \phi} = \frac{1}{\rho}\,D\Sph\, \Basis_{\phi} $$ son los "campos vectoriales de coordenadas" para coordenadas esféricas.
![Coordinate curves for spherical coordinates]()
En el diagrama, las curvas roja y azul se encuentran en una superficie de coordenadas $\rho = \rho_{0}$ (es decir, una esfera); las curvas azul y verde se encuentran en una superficie de coordenadas $\theta = \theta_{0}$ (un plano longitudinal); las curvas roja y verde se encuentran en una superficie de coordenadas $\phi = \phi_{0}$ (un cono sobre el $z$ -eje). Pequeñas porciones de las curvas de coordenadas para $\rho$ , $\theta$ y $\phi$ son verde, rojo y azul respectivamente. Los campos de coordenadas (no mostrados) son campos tangentes unitarios a lo largo de las respectivas curvas.
Generalmente, si $F$ es un cambio arbitrario de coordenadas (en el espacio, por ejemplo), entonces el dominio de $F$ es un subconjunto abierto $U$ de $\Reals^{3}$ y $F$ mapas $U$ "difeomórficamente" (suavemente y con inversa suave) en $\Reals^{3}$ . Si escribimos $$ (x, y, z) = F(u, v, w), $$ entonces para cada $u_{0}$ podemos "restringir" $F$ obteniendo una superficie paramétrica $(v, w) \mapsto F(u_{0}, v, w)$ . La imagen de esta cartografía es la "superficie de coordenadas" $u = u_{0}$ .
Del mismo modo, podríamos considerar $(u, w) \mapsto F(u, v_{0}, w)$ para algunos $v_{0}$ o $(u, v) \mapsto F(u, v, w_{0})$ para algunos $w_{0}$ . La intersección de dos superficies de coordenadas, digamos $v = v_{0}$ y $w = w_{0}$ es la "curva de coordenadas" $u \mapsto F(u, v_{0}, w_{0})$ . Esta curva paramétrica tiene un vector de velocidad normalizado en cada punto, el $u$ -campo vectorial de coordenadas a lo largo de la curva.
Por cierto, la notación sugiere que estás leyendo un texto de ingeniería. Una diferencia cultural entre los ingenieros y los matemáticos es que:
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Los ingenieros tienden a denotar los mapeos (funciones) asignando letras a la entrada y a la salida valores lo que puede dar lugar a profusiones de letras (como en $a, b, c$ , $m_{1}, m_{2}, m_{3}$ , $r, \theta, \phi$ , $R, \gamma, \beta$ ).
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Los matemáticos tienden a centrarse en la relación funcional entre entradas y salidas, que a veces llega a suprimir activamente los nombres de las variables de entrada y salida (como en $(x, y, z) = \Sph(\rho, \theta, \phi)$ Y hablando de $D\Sph$ en lugar de las derivadas parciales $\dd x/\dd \rho$ etc.)
Entre otras cosas, la notación en ingeniería tiende a ser global: cada cantidad tiene un único símbolo, a veces en toda una disciplina.
En cambio, la notación matemática tiende a ser local y dependiente del contexto: Los significados de los símbolos pueden cambiar incluso de un párrafo a otro, aunque los símbolos se eligen obedeciendo a supuestos culturales poco precisos. (El principio del alfabeto ( $a$ a través de $c$ ) se reserva generalmente para las constantes, el medio ( $i$ a través de $n$ ) para discreto (enteros), los índices medios tardíos ( $r$ a través de $t$ o $w$ ) para los parámetros continuos, el final ( $x$ a través de $z$ ) para las funciones de coordenadas).
Cada convención de notación tiene ventajas e inconvenientes. Cuanto mejor entiendas ambas (aunque pases la mayor parte de tu carrera en uno u otro bando), más fácil te resultará la bibliografía (libros de texto y artículos).
