Dejemos que $A$ sea un subconjunto de un espacio topológico $X$ . Me interesa establecer bajo qué condiciones se cumple la siguiente inclusión: $A'' \subseteq A'.$
Esto es ciertamente falso en general: considere el espacio de dos puntos $X=\{x, y\}$ con la topología indiscreta. Entonces $\{x\}'=\{y\}$ y $\{y\}'=\{x\}$ .
Por otro lado, esto es cierto para $T_1$ espacios. Ya que, si $x \in A''$ cualquier barrio $U_x$ de $x$ contiene un punto $y\in A', y\ne x$ ; entonces si $V_y$ es una vecindad de $y$ que no contiene $x$ , $V_y \cap U_x$ es una vecindad de $y$ y por tanto contiene un punto $z \in A, z\ne x, z \in U_x$ .
La pregunta es: ¿es $T_0$ ¿Axioma suficiente para que la inclusión se mantenga? No puedo demostrarlo ni encontrar un contraejemplo.
