Convergencia en serie de $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$

Question

Tengo la serie infinte $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}$ que creo que converge.

Como la prueba de la proporción no fue concluyente, estoy intentando utilizar la prueba de comparación para demostrar su convergencia, pero no estoy seguro de con qué serie compararla. Inicialmente, creía que podía compararla con $\frac{1}{n^2}$ pero tampoco estoy seguro de cómo demostrar que esta serie converge.

¿Existe un método general para elegir las series con las que se comparan?

Answer 1

Sí, se puede utilizar el hecho de que, para cada número natural $n$ , $\dfrac1{n^3}\leqslant\dfrac1{n^2}$ . Y entonces puedes usar el hecho de que $\dfrac1{n^2}\leqslant\dfrac1{n(n-1)}$ si $n\neq1$ . Ahora, usted tiene $$\sum_{n=2}^\infty\frac1{n(n-1)}=\sum_{n=2}^\infty\left(\frac1{n-1}-\frac1n\right),$$ y esta serie converge (es una serie telescópica).

Pero es más natural utilizar la prueba integral para estudiar la convergencia de $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^3}$ .

Answer 2

Puedes usar eso $$\frac{1}{n^3}\le \frac{1}{n^2}$$ y $$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i^2}=\frac{\pi^2}{6}$$

Answer 3

$$\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^s} \lt 1+ \int_1^\infty \frac1{x^s} dx=\frac{s}{s-1}$$ Para todos $s\gt 1$ .

Answer 4

También puede utilizar la prueba integral, es decir, comprobar si $\int_{1}^{\infty}{\frac{dx}{x^3}}$ converge que parece ser fácil de resolver

Answer 5

La respuesta es la constante de Apery, o el límite de la función Zeta en $s=3$

https://en.wikipedia.org/wiki/Ap%C3%A9ry%27s_constant

No se sabe cómo evaluar esto, pero sí que converge, ya que es menor que la serie para $s=2$ cuya prueba se ofrece en este hermoso vídeo de 3Blue1Brown

https://www.youtube.com/watch?v=d-o3eB9sfls