Resolver ecuaciones exponenciales como $2^{2x} - 3 \cdot 2^x - 10 = 0$

Question

Tengo dos ecuaciones que no soy capaz de resolver. Conozco las respuestas, pero no puedo llegar a ellas.

$$(a) \qquad 2^{2x} - 3 \cdot 2^x - 10 = 0$$

(Respuesta: $x = \frac{\log 5}{\log 2}$ .)

En a) empiezo multiplicando log en todos los números. Pero luego me di cuenta de que podría estar malinterpretando. Cómo será la parte del medio, de lo que he hecho me sale ... $(-\log3 + x\log2)$ ... ¿Se supone que debo dividir 3*2 aparte(siguiendo la regla: $\log(a b)=\log a+\log b)$ ? Y si es así, ¿habrá un - o un + delante del número $2$ ? La respuesta que tengo más cercana es ${(\log(10)+\log(3)) / \log(2)}$ .

$$(b) \qquad 3^{2x} - 12 \cdot 3^x + 27 = 0$$

(Respuesta: $x = 1, 2$ .)

Sobre la b) no tengo nada parecido a la respuesta. Entiendo que se necesita la fórmula de la ecuación cuadrática, pero no puedo llegar a esos números que se supone que pongo en ella.

¿Alguien sabe cómo solucionar esto y qué estoy haciendo mal?

Answer 1

$(a)\;\; $ Dado $2^{2x}-3\cdot 2^{2x}-10 =0\;\;,$ Ahora dejemos $2^x=y>0\forall y\in \mathbb{R}\;,$ Entonces la ecuación se convierte en

$$\implies y^2-3y-10=0\Rightarrow y=\frac{3\pm \sqrt{9+40}}{2} = \frac{3\pm 7}{2}$$

Así que obtenemos $$y=5\Rightarrow 2^x=5\Rightarrow \log_{2}(2)^x=\log_{2}(5)\Rightarrow x=\log_{2}(5)\;\;$$ y $$y=-4\;\bf{(Not\; Possible)}$$

$(b)$ Dado $3^{2x}-12\cdot 3^x+27=0\;,$ Poner $3^x=y>0\forall y\in \mathbb{R}$

El mismo proceso que el anterior.

Answer 2

Para ver que $a^{2x}=(a^x)^2$ podría ser lo más importante aquí.

A continuación, puede establecer $2^x=s$ para a) (tenga cuidado con $s\gt 0$ ), y $3^x=t$ para b).

Answer 3

Podemos considerar la primera ecuación como una ecuación cuadrática en $u := 2^x$ y luego el factor: $$u^2 - 3 u - 10 = (u + 2) (u - 5) = 0.$$ (Convenientemente, la factorización nos permite evitar la ecuación cuadrática aquí).

Podemos ver inmediatamente que esta ecuación tiene soluciones $u = - 2$ y $u = 5$ . A qué valores de $x$ ¿se corresponden estas soluciones, si es que las hay?

La parte (b) puede tratarse de forma similar.

Answer 4

SUGERENCIA: reescribir la primera ecuación en la forma $(2^x)^2-3\cdot 2^x-10=0$ y establecer $2^x=t$ y la segunda en la forma $(3^x)^2-12\cdot 3^x+27=0$

Answer 5

Tome $2^x$ en la primera ecuación como $a$ y $3^x$ en la segunda ecuación como $y$ . Usted obtendrá $$a^2-3a-10=0$$ o, $$(a-5)(a+2)=0$$ y $$b^2-12b+27=0$$ o, $$(b-3)(b-9)=0$$ y estas son ecuaciones cuadráticas fáciles de resolver.