Dejemos que $a<b<c$ sean primos tales que $c-a$ , $c-b$ y $b-a$ también son primordiales. Es bastante sencillo demostrar que $(2,5,7)$ es el único triple que satisface estas condiciones:
Esbozo de prueba:
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El caso $a>2$ se reduce a un sistema de ecuaciones sin solución tras comprobar que cada diferencia debe ser igual a $2$ .
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El caso $a=2$ se reduce a la existencia de un primo $p$ tal que $p+2$ y $p+4$ también son primos. La única tupla de este tipo es $p=3\rightarrow (3,5,7)$ . Un argumento modular se encarga de la unicidad.
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La tupla $(a,b,c)=(2,5,7)$ se desprende de $p=3$ .
Me preguntaba si existe un enfoque más elegante que utilice muchas herramientas de la teoría de los números (es decir, curvas elípticas, teoría algebraica de los números, etc.). Me doy cuenta de que esto es totalmente innecesario ya que podemos apelar a la teoría más atómica para resolver este problema; sin embargo, no paso mucho tiempo con la teoría de números y estaba buscando alguna aplicación de "técnicas modernas".
