El "anillo de caracteres" de un grupo finito y sus automorfismos

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo finito y que $C(G)$ denotan el conjunto de caracteres de $G$ (en mi curso de teoría de la representación los valores que toman estos caracteres están en $\mathbb{C}$ Pero este es un punto sobre el que me gustaría preguntar más adelante). A continuación, $C(G)$ tiene bastante estructura algebraica; si $\rho$ y $\sigma$ son dos representaciones de $G$ con los caracteres correspondientes $\chi_\rho$ y $\chi_\sigma$ entonces $\chi_\rho +\chi_\sigma$ es de nuevo un carácter de $G$ correspondiente a la representación $\rho \oplus \sigma$ . Además, $\chi_\rho \cdot \chi_\sigma$ es un carácter de $G$ correspondiente a la representación $\operatorname{Hom}(V^*, W)$ , donde $V$ y $W$ son los espacios portadores de $\rho$ y $\sigma$ respectivamente.

Así que se nos permite sumar y multiplicar caracteres juntos dentro de $C(G)$ , dando dos operaciones sobre $C(G)$ que supongo que interactúan bien y satisfacen los axiomas del anillo excepto por el hecho de que la estructura aditiva no es completa - ¡los inversos aditivos no existen! Así que supongo que lo natural es definir $\mathbb{Z}C(G)$ como grupo abeliano libre en $C(G)$ Entonces $\mathbb{Z} C(G)$ es un anillo.

Ahora conozco un automorfismo de este anillo; a saber, la conjugación compleja de caracteres: si $\chi$ es un carácter de alguna representación $\rho$ con espacio de soporte $V$ entonces $\bar{\chi}$ es el carácter de la representación $\rho^*: G\rightarrow GL(V^*)$ definido por $\rho^* (\phi) (v) = \phi(\rho(g^{-1})(v))$ . Así que mis preguntas son:

1. Lo que es una especie de objeto es $\mathbb{Z} C(G)$ ? ¿Hay casos especiales en los que es un campo?
2. He escrito un automorfismo de $\mathbb{Z} C(G)$ , es decir, la conjugación compleja de caracteres. ¿Existen otros automorfismos procedentes de diferentes modificaciones de las representaciones, quizás en el caso de que consideremos que nuestros caracteres toman valores en algún campo general $K$ en lugar de sólo $\mathbb{C}$ ? ¿Existe una "teoría de Galois" de estos automorfismos?

Answer 1

$\mathbb{Z}C(G)$ se llama anillo de representación de $G$ es un ejemplo de anillo de Grothendieck de una categoría tensorial. Además de las operaciones de anillo que has mencionado, viene equipado con operaciones adicionales procedentes de la toma de potencias exteriores o simétricas de representaciones, lo que lo convierte en un $\lambda$ -Anillo.

En cuanto a su pregunta sobre si puede ser un campo, la respuesta es siempre no. Una forma rápida de ver esto es considerar el carácter $\chi_{reg}$ correspondiente a la representación regular de $G$ es un lema fácil demostrar que esto satisface $\chi_{reg} \cdot \chi = Dim(\chi)\chi_{reg}$ para cualquier carácter $\chi$ . En particular, $\chi_{reg}$ nunca es invertible a menos que $G$ es trivial pero entonces $\mathbb{Z}C(G)= \mathbb{Z}$ y todavía no es un campo.

De hecho, cualquier isomorfismo de campo de $\mathbb{C}$ dará un isomorfismo de $\mathbb{Z}C(G)$ La conjugación compleja es sólo un buen ejemplo. Realmente, toda la teoría de la representación de $G$ tiene lugar en un campo mucho más pequeño que $\mathbb{C}$ . Lo que podrías hacer es tomar el campo más pequeño $k_G$ de característica cero sobre el que se definen todas las representaciones complejas irreducibles y mira la acción de $Gal(k_G,\mathbb{Q})$ en $\mathbb{Z}C(G)$ .