Interpretación de un homomorfismo de grupo $f: \mathbb{Z}_{12} \to \mathbb{Z}_{3}$ visualmente

Question

Me cuesta mucho estudiar y eso que soy de aprendizaje visual. ¿Cómo podría imaginar visualmente un homomorfismo (de grupo) $$\mathbb{Z}_{12} \to \mathbb{Z}_3?$$

Además, si la pregunta indica que el mapa $f$ es un homomorfismo de grupo tal que $f(1)=2$ ¿Cómo puedo encontrar el núcleo? $K$ de $f$ ?

Answer 1

Me parece útil imaginar al grupo $\mathbb{Z}_n$ un grupo de rotaciones (de, por ejemplo, el plano) por múltiplos de $\frac{1}{n}$ revolución, es decir, por múltiplos de $\frac{2\pi}{n}$ radianes, por lo que $[k] \in \mathbb{Z}_n$ corresponde a una rotación (digamos, en sentido contrario a las agujas del reloj) por $\frac{2 \pi k}{n}$ radianes.

Desde $\mathbb{Z}_n$ es cíclico, cualquier homomorfismo de grupo $f: \mathbb{Z}_n \to H$ se determina por $f(1)$ . Esto deja tres mapas candidatos, a saber - el mapa definido por $f([1]) = [0]$ que no es más que el homomorfismo cero $f([n]) := 0$ , - el mapa definido por $f([1]) = [1]$ , - el mapa definido por $f([1]) = [2]$ .

Según la mnemotecnia anterior, podemos considerar $[1] \in \mathbb{Z}_{12}$ como una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj por $\frac{1}{12}$ de una revolución, o $\frac{\pi}{6}$ radianes, y, por ejemplo $[2] \in \mathbb{Z}_{3}$ como una rotación en sentido contrario a las agujas del reloj por $\frac{2}{3}$ de una revolución, o $\frac{4\pi}{3}$ radianes. Así que, usando eso $f$ es un homomorfismo de grupo, por lo que $f([n]) = n \cdot f([1])$ podemos pensar en $\phi$ como el mapa que toma una rotación determinada en $\mathbb{Z}_{12}$ y lo aplica $\frac{\frac{2}{3} \text{ rev}}{\frac{1}{12} \text{ rev}} = 8$ veces, que por construcción es siempre una rotación en $\mathbb{Z}_3$ tan imaginado.

(Como advertencia, esta es una forma conveniente de pensar en grupos cíclicos finitos, pero si uno quiere pensar en $\mathbb{Z}_3$ sentado en el interior $\mathbb{Z}_{12}$ de la forma en que lo hicimos aquí, se debe especificar que se está utilizando esta mnemotecnia; de hecho, hay más de una forma de poner $\mathbb{Z}_3$ en $\mathbb{Z}_{12}$ de manera que se respete la multiplicación de grupos).

Pensar en un grupo como lo hicimos aquí como un conjunto de transformaciones (lineales) de algún espacio vectorial, por cierto, es una (la) idea central de la teoría de la representación, que ha demostrado ser un inmensamente poderoso también para entender los grupos.