La suma de variables aleatorias i.i.d de qué distribución tiene distribución exponencial

Question

Digamos que $X_1,X_2,...,X_n$ son una secuencia de variables aleatorias i.i.d de alguna distribución desconocida. Si sabemos que la suma de ellas $Y$ = $\sum_{i=1}^{n} X_i$ tiene una distribución exponencial con parámetro $\lambda$ ¿Qué es la distribución de $X_i$ ?

Answer 1

Existencia. Una distribución gamma, denotada por $\operatorname{Gamma}(k, \lambda)$ para los parámetros $k, \lambda > 0$ se define como una distribución soportada en $[0,\infty)$ con el p.d.f.

$$f(x) = \frac{\lambda^k x^{k-1} e^{-\lambda x}}{\Gamma(k)} \mathbf{1}_{(0,\infty)}(x).$$

Ahora bien, si $X \sim \operatorname{Gamma}(k,\lambda)$ y $Y \sim \operatorname{Gamma}(l,\lambda)$ son independientes, entonces $Z = X+Y$ tiene densidad $f_Z$ que satisface

$$\begin{align*} \forall x > 0 \ : \quad f_Z(x) &= \int_{0}^{x} f_X(t)f_Y(x-t) \, dt \\ &= \int_{0}^{x} \frac{\lambda^k t^{k-1} e^{-\lambda t}}{\Gamma(k)} \cdot \frac{\lambda^l (x-t)^{l-1} e^{-\lambda (x-t)}}{\Gamma(l)} \, dt \\ &= \frac{\lambda^{k+l}e^{-\lambda x}}{\Gamma(k)\Gamma(l)} \int_{0}^{x} t^{k-1}(x-t)^{l-1} \, dt \\ &= \frac{\lambda^{k+l}x^{k+l-1}e^{-\lambda x}}{\Gamma(k+l)} \end{align*}$$

por la identidad de la función beta. Así que $Z \sim \operatorname{Gamma}(k+l,\lambda)$ . Un corolario inmediato es

Propuesta. Si $X_1, \cdots, X_n$ son independientes y $X_i \sim \operatorname{Gamma}(k_i, \lambda)$ con $k_i, \lambda > 0$ para cada $i$ entonces $\sum_{i=1}^{n} X_i \sim \operatorname{Gamma}(\sum_{i=1}^{n}k_i, \lambda)$ .

Ahora bien, al observar que $\operatorname{Exp}(\lambda) = \operatorname{Gamma}(1,\lambda)$ encontramos que $\operatorname{Gamma}(\frac{1}{n}, \lambda)$ es una opción posible.

Unicidad. Observe que $Y$ tiene el m.g.f.

$$\mathsf{E}[e^{sY}] = \frac{\lambda}{\lambda - s}$$

para $s < \lambda$ . Por lo que se deduce que

$$\mathsf{E}[e^{sX_1}] = \left( \frac{\lambda}{\lambda - s} \right)^{1/n}.$$

Dado que la f.g.m. determina una distribución siempre que exista en una vecindad de $0$ hay a lo sumo una elección de la distribución de $X_1$ .