Demostrar que $f$ es una función acotada si $f(x)+f''(x)=-xg(x)f'(x)$ donde $g\ge0$

Question

Dejemos que $f$ sea una función de valor real dos veces diferenciable tal que $f(x)+f''(x)=-xg(x)f'(x)$ Donde $g(x)\geq 0$ para todos los reales $x$ Demuestra que $|f(x) |$ es una función acotada.

Answer 1

FALSO.

Tome $f (x)=e^{-x} $ .

entonces

$$f (x)+f''(x)=2e^{-x}=-g (x)f'(x) $$

con $g (x)=2$ .

pero $$\lim_{x\to -\infty}f (x)=+\infty . $$