Dejemos que $G$ un grupo y $A=G$ demostrar que los mapas definidos por $g\cdot a =ag^{-1}$ para todos $g, a\in G$ satisfacen los axiomas de una acción de grupo de izquierda.

Question

En el Álgebra abstracta de Dummit y Foote (p.45 ejercicio 15), hay un problema que pregunta

Dejemos que $G$ un grupo y $A=G$ demostrar que los mapas definidos por $g\cdot a =ag^{-1}$ para todos $g, a\in G$ satisfacen los axiomas de una acción de grupo de izquierda.

Así que sé que tengo que demostrar que $g_1\cdot(g_2\cdot a) = (g_1g_2)\cdot a$ . Pero cuando se intenta eso, se obtiene $$g_1(g_2a) = g_1(ag_2^{-1}) = a(g_2g_1)^{-1} \stackrel{?}{=} a(g_1g_2)^{-1} = (g_1g_2)a.$$ Pero como $G$ no tiene por qué ser abeliano, esto no tiene por qué ser cierto. ¿Qué es lo que me falta aquí?

Answer 1

Has hecho una edición dentro de los cinco minutos, así que no aparece. Pero ten en cuenta que la acción de grupo sí satisface: $$g_1\cdot(g_2\cdot a)=g_1\cdot(ag_2^{-1})=ag_2^{-1}g_1^{-1}=a(g_1g_2)^{-1}=(g_1g_2)\cdot a.$$

Obsérvese que el hecho de ser abeliano no importa aquí, y que es mejor dejar el ' $\cdot$ ' en tus cálculos, sólo para que no tengas la tentación de usar tu multiplicación de grupo (en lugar de usar la acción de grupo dada).

Tenga en cuenta que $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ . Esto no depende de la conmutatividad. Se desea encontrar la inversa de $ab$ entonces, naturalmente, si quieres invertir esto desde la derecha, primero invertirás por $b$ y luego por $a$ , $abb^{-1}a^{-1}=e$ . (Es decir, has cometido un error en la edición, en la tercera igualdad).