¿Cómo resolver sin la ley del binomio?

Question

Se extrae un dado perfecto $4$ veces. ¿Cuál es la probabilidad de que el mismo número salga al menos $2$ ¿tiempo?

Al principio, apliqué la ley binomial. Hice todos los cálculos.

He creado una variable aleatoria, cuyos valores posibles son $0,1,2,3$ y $4$ . Mi pensamiento era que cualquier número tiene una probabilidad de $\frac{1}{6}$ para salir.

Entonces me puse a pensar. En el $4$ lanzamientos pueden salir dos números diferentes $2$ veces, cada una. Así que mis pensamientos anteriores estaban equivocados.

¿Puede darme una idea de cómo resolver este problema?

Answer 1

"¡Alea iacta est!"

$$P=\frac{6^4-\frac{6!}{2!}}{6^4} \approx 0.722$$

Answer 2

Si se encuentra la probabilidad de que un $1$ aparece al menos dos veces, y del mismo modo un $2$ y un $3$ etc., entonces tienes la complicación de que esos seis eventos no son mutuamente excluyentes: un $1$ podría aparecer dos veces y a $2$ dos veces.

Así que la forma más sencilla es encontrar la probabilidad de que el evento que se busca haga no es decir, ningún número aparece más de una vez.

La probabilidad de que el segundo número difiera del primero es $\dfrac 5 6$ .

La probabilidad de que el tercer número difiera de los dos primeros es $\dfrac 4 6$ .

La probabilidad de que el cuarto número difiera de los tres primeros es $\dfrac 3 6$ .

Multiplícalos: $\dfrac{5\cdot4\cdot3}{6^3} = \dfrac{5}{18}$ .

Así que lo que buscas es $\dfrac{13}{18}$ .