Explicación sobre arg min

Question

¿Sería alguien tan amable de explicarme esto?

$$\pi_nk=\left\{\begin{array}{cl}1&\textrm{if }k=\arg\min_j\left\Vert\mathbf x_n-\mu_j\right\Vert^2\\0&\textrm{otherwise}\end{array}\right..$$

Especialmente el $\arg\min$ parte.

(Es de la $k$ -algoritmo de medias).

Answer 1

$\arg\min$ es argumento del mínimo por lo que en general es el conjunto de valores donde la función alcanza el mínimo.

El ejemplo más sencillo es

$\arg\min _{x} f(x)$ es el valor de $x$ para lo cual $f(x)$ alcanza su mínimo.

para su ejemplo

$x_n$ es conocida y depende de $\pi_{nk}$ y $k$ es igual a $j$ tal que $\begin{Vmatrix} x_n-\mu_j \end{Vmatrix}^2$ alcanza el mínimo entre todos los valores de $\mu_j$ y dado $x_n$ .

Espero que eso ayude.

Answer 2

$arg min$ (o $arg max$ ) devuelven la entrada para la salida mínima (o máxima).

Por ejemplo:

El gráfico ilustra $f(x)=(sin(x-0.5)+cos(x)^2)*2$

El mínimo global de $f(x)$ es $min(f(x)) \approx$ -2, mientras que el $arg min(f(x)) \approx$ 4.9 .

Answer 3

$\operatorname{argmin}(f(x))$ simplemente devuelve el valor de $x$ que minimiza $f(x)$ sobre el conjunto de candidatos a $x$ frente al propio valor mínimo. Esto ocurre, por supuesto, en todo tipo de estimaciones estadísticas de parámetros al construir modelos (como la situación LS a la que aludes en tu ejemplo).