Volumen del tetraedro generalizado en $R^n$

Question

Tengo dificultades para encontrar el volumen de un tetraedro en $\mathbb{R}^n$ .

Encuentra el volumen de un tetraedro generalizado en $\mathbb{R}^n$ delimitado por los hiperplanos de coordenadas y el hiperplano $x_1 + x_2 + ... + x_n = 1$

En dos dimensiones, tenemos $\int_0^1 1 - x_1 dx_1$ . En tres dimensiones, obtuve algo así como $\int_0^1 \int_0^{1-x_1} 1-x_2 dx_2dx_1$ .

¿Estoy empezando bien? Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Es más preciso escribir para dos dimensiones así:

$$ \int_0^1 dx_1 \int_0^{x_1} dx_2 $$

Para la tercera dimensión será: $$ \int_0^1 dx_1 \int_0^{x_1} dx_2 \int_0^{x_2}dx_3 $$ Así que se puede escribir fácilmente la expresión para dimensiones superiores. Mi consejo es que escribas el dominio delimitado por los hiperplanos con más cuidado. Supongo que tu forma es demasiado difícil para la integración posterior.

Answer 2

Su enfoque está bien, pero el rango permitido en $x_3$ es $1-x_1-x_2$ Así que ese debería ser tu integrando. Probablemente sea más fácil definir el $n$ -volumen de un $k$ simplex de lados como $V_n(k)$ y reconocer que $V_n(k)=\int_0^kV_{n-1}(x)dx$ . Ahora cada integral es una sola. Si haces las primeras, verás que surge un patrón, que puedes demostrar por inducción.