La palabra "momento" se lanza más a menudo que los dulces durante Halloween. Preguntar por qué el impulso es una función covectorial/coordinada en algunas circunstancias mientras que es un vector en otras no ayuda mucho a aclarar la situación. Lo que sí es útil, en mi opinión, es escribir claramente todos los objetos implicados y aclarar en qué espacio (colector) vive todo. En física a menudo no aclaramos en qué espacio estamos trabajando, y como resultado se mezclan varias cosas. Esto, en sí mismo, puede no ser malo (porque, en última instancia, es posible "identificar" amablemente las cosas), pero se vuelve confuso para un estudiante (yo incluido) cuando no mencionamos explícitamente cómo se identifican las cosas.
Fijar un $n$ -de la variedad lisa de las dimensiones $Q$ ("el conjunto de todas las configuraciones posibles"). Sea $TQ,T^*Q$ sean su haz tangente y cotangente respectivamente. Adoptemos la siguiente notación:
- $\pi_{TQ}:TQ\to Q$ la proyección del haz tangente
- $\pi_{T^*Q}:T^*Q\to Q$ la proyección del haz cotangente.
- $(TU, (q,\dot{q})=(q^1,\dots, q^n, \dot{q}^1,\dots, \dot{q}^n))$ una carta de coordenadas adaptada para $TQ$
- $(T^*U, (z,p)= (z^1,\dots, z^n, p_1,\dots, p_n))$ una carta de coordenadas adaptada para $T^*Q$ .
Ahora, aquí hay una propuesta:
Teorema 1.
Para toda función suave $f:TQ\to\Bbb{R}$ existe una forma 1 suave $\mu_f$ en $TQ$ (recuerde que esto significa una sección lisa $\mu_f:TQ\to T^*(TQ)$ ) tal que para cada gráfico de coordenadas adaptado $(TU, (q^i,\dot{q}^i))$ de $TQ$ tenemos \begin{align} \mu_f&=\frac{\partial f}{\partial \dot{q}^i}\,dq^i \end{align} (la igualdad es en el conjunto abierto $TU$ Así que para ser realmente estricto debería escribir $\mu_f|_{TU}$ en el lado izquierdo).
Observa qué tipo de objeto es cada cosa. $f$ es una función suave en $TQ$ y $(q^i,\dot{q}^i)$ son funciones de coordenadas en $TU$ Así que $\frac{\partial f}{\partial \dot{q}^i}$ es una función suave en $TU$ y $dq^i$ es un $1$ -formar en $TU$ por lo que su producto y la suma sobre $i$ es de nuevo una forma 1 en $TU$ . Estamos estrictamente en el haz tangente, así que olvídate del momento y de los haces cotangentes temporalmente.
Demostración Esquema del teorema 1.
Consideremos dos gráficos de coordenadas adaptados $(TU, (q,\dot{q}))$ y $(TV, (r,\dot{r}))$ en $TQ$ . Es un buen ejercicio para demostrar que en la intersección $TU\cap TV$ tenemos \begin{align} \frac{\partial r^i}{\partial \dot{q}^j}&= 0 \quad \text{and} \quad \frac{\partial \dot{r}^i}{\partial \dot{q}^j}=\frac{\partial r^i}{\partial q^j}.\tag{$*$} \end{align} Por lo tanto, \begin{align} \frac{\partial f}{\partial \dot{r}^i}\,dr^i&= \left(\frac{\partial f}{\partial q^j}\frac{\partial q^j}{\partial \dot{r}^i}+\frac{\partial f}{\partial \dot{q}^j}\frac{\partial \dot{q}^j}{\partial \dot{r}^i}\right) \cdot \left(\frac{\partial r^i}{\partial q^k}\,dq^k+\frac{\partial r^i}{\partial \dot{q}^k}\,d\dot{q}^k\right) \\ &=\left(0+\frac{\partial f}{\partial \dot{q}^j}\frac{\partial q^j}{\partial r^i}\right)\cdot \left(\frac{\partial r^i}{\partial q^k}\,dq^k+0\right)\\ &=\frac{\partial f}{\partial \dot{q}^j}\delta^j_k\,dq^k\\ &=\frac{\partial f}{\partial \dot{q}^i}\,dq^i \end{align} (en la última línea he resuelto la suma delta de Kronecker y he cambiado el nombre de los índices). Como ambas expresiones coinciden en la región de solapamiento, podemos definir sin ambigüedad la forma 1 $\mu_f$ en todos los $TQ$ .
Si queremos dar nombres, entonces podemos llamar a $\mu_f$ el " momento canónico $1$ -de la función suave $f:TQ\to\Bbb{R}$ ". Una vez más, no hay que obsesionarse con la palabra "impulso", porque es sólo una palabra. Del mismo modo, podemos referirnos a los componentes $\frac{\partial f}{\partial \dot{q}^i}$ como " El momento canónico de la función $f$ con respecto a $q^i$ donde $(TU, (q,\dot{q}))$ es un gráfico de coordenadas adaptado de $TQ$ ". O para abreviar, el momento canónico de $f$ conjugado con el $i^{th}$ coordenada de posición, o incluso más corto, simplemente "la $i^{th}$ componente de impulso". Como ya he dicho, son sólo nombres, así que realmente no importa cómo lo llames, siempre que seas consciente del objeto del que estás hablando (en este caso un $1$ -formar en $TQ$ construido especialmente a partir de una función suave $f:TQ\to\Bbb{R}$ ).
Para tomar contacto con la Física, supongamos ahora $Q$ está dotada de una métrica riemanniana $g$ . Esto establece un isomorfismo de haz vectorial $g^{\flat}:TQ\to T^*Q$ y su inversa $g^{\sharp}:T^*Q\to TQ$ (los llamados "isomorfismos musicales", o en RG denominados bajada/subida de índice). Entonces, dada una función suave $\psi:Q\to\Bbb{R}$ podemos considerar una función suave $L:TQ\to\Bbb{R}$ como \begin{align} L(\xi)=\frac{1}{2}g_{\pi_{TQ}(\xi)}(\xi,\xi)-\psi(\pi_{TQ}(\xi)) \end{align} O en términos de un gráfico de coordenadas adaptado $(TU, (q,\dot{q}))$ tenemos \begin{align} L&=\frac{1}{2}(g_{ij}\circ \pi_{TQ})\dot{q}^i\dot{q}^j-\psi\circ \pi_{TQ} \end{align} En palabras, $\psi$ es la energía potencial (el hecho de que sea una función sobre $Q$ refleja que la energía potencial depende sólo de la posición y no de la posición y la velocidad). Por lo tanto, esta $L$ es cuadrática en las coordenadas de la velocidad y estamos restando un término de energía potencial. Así que esto es precisamente lo que encontramos en la mecánica lagrangiana elemental.
Ahora, debido a la simetría de $g_{ij}$ se puede calcular fácilmente que \begin{align} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i}=(g_{ij}\circ \pi_{TQ})\,\, \dot{q}^j \end{align} Por lo tanto, la canónica $1$ -forma asociada a $L$ es \begin{align} \mu_L&=\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i}\,dq^i=(g_{ij}\circ \pi_{TQ})\,\dot{q}^j\,\, dq^j. \end{align}
La palabra "impulso" surge porque si pensamos en $Q=\Bbb{R}^3$ con la métrica de Riemann $g=m(dx\otimes dx+dy\otimes dy+dz\otimes dz)$ para algunos $m>0$ entonces $\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=m\dot{x}$ e igualmente con $y$ y $z$ , por lo que coincide con lo que todos hemos aprendido desde que los niños fueron impulso. Por lo tanto, por esta analogía, ampliamos nuestra terminología y así definí $\mu_f$ arriba para ser "el impulso $1$ -forma de $f$ ".
Espero que esto aborde parte de la razón por la que a veces nos gusta pensar en el impulso como un $1$ -formar en $TQ$ .
Ahora, te preguntarás qué tiene que ver el haz cotangente con todo esto, y por qué las coordenadas están etiquetadas por un $p$ en $(T^*U, (z,p)= (z^1,\dots, z^n, p_1,\dots, p_n))$ . A priori no hay ninguna relación; el uso de la letra $p$ es por ahora sólo un accidente. Le sugiero que lea ahora la siguiente respuesta mía: Retirando la forma única tautológica utilizando la métrica de Riemann . Lo que ocurre es que en $T^*Q$ hay una muy buena $1$ -forma $\theta=p_i\,dz^i$ (se puede mostrar es bien definida mediante coordenadas ; o también se puede dar una definición intrínseca).
Utilizando la métrica de Riemann y el correspondiente isomorfismo del haz vectorial $g^{\flat}:TQ\to T^*Q$ , se puede tirar de la forma $\theta$ a un $1$ -forma $\theta_g:= (g^{\flat})^*\theta$ en $TQ$ . En mi respuesta vinculada, demuestro que \begin{align} \theta_g&= (g^{\flat})^*(p_i\,dz^i)\\ &= (p_i\circ g^{\flat})\, dq^i\\ &= (g_{ij}\circ \pi_{TQ})\,\, \dot{q}^j\,dq^i \end{align} Pero esto no es otra cosa que el $1$ -forma $\mu_L$ para el lagrangiano específico cuadrático en la velocidad $L$ que definí anteriormente. Así que, como ya hemos acordado anteriormente que las funciones $\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i}= (g_{ij}\circ \pi_{TQ})\, \dot{q}^j$ generalizando nuestra noción elemental de momento, se deduce que $p_i\circ g^{\flat}$ también debería llamarse $i^{th}$ función de impulso. El isomorfismo $g^{\flat}$ simplemente nos permite convertir entre los haces tangentes y cotangentes, así que por extensión de la terminología, también podemos decidir llamar a las funciones de coordenadas $p_i$ en $T^*Q$ como impulso.
Así, para resumir, de cada función suave $f$ en $TQ$ obtenemos un $1$ -forma $\mu_f$ . A partir del caso especial de tener una métrica riemanniana, podemos definir una función $L$ que es cuadrática en las velocidades. Entonces, las componentes de la $1$ -forma $\mu_L$ en un caso hiperespecial coinciden con nuestra noción elemental de momento. Por último, podemos demostrar que $\theta_g:= (g^{\flat})^*\theta=\mu_L$ y, por tanto, por extensión, las funciones de coordenadas $p_i$ también merecen llamarse momento (y nótese que como la métrica de Riemann $g$ relaciona las coordenadas de velocidad $\dot{q}^i$ con las coordenadas del momento $p_i$ En este caso, a veces podemos interpretar físicamente una métrica riemanniana como una matriz de masa generalizada/momento de inercia de un sistema).
