¿Cuál es la línea de paquete de $\mathcal{O}_{X}(k)$ intuitivamente?

Question

Siempre estoy confundido acerca de cómo entender la línea bundle $\mathcal{O}_{X}(k)$ en un esquema proyectivo $X=\mathrm{Proj}(\oplus_{n=0}^\infty A_{n})$. Por supuesto, esto es, por definición, el $\mathcal{O}$-módulo asociado a $\oplus_{n=0}^\infty A_{n}(k)$. Pero creo que esta definición no es realmente geométricas. Mis preguntas son las siguientes;

1. ¿Cómo debo entender $\mathcal{O}_{X}(k)$ intuitivamente? Tal vez por $k\ge0$ esto es relativamente fácil en la medida global de las secciones están dadas por la pieza clasificada $A_{k}$, pero todavía no conozco a ninguna imagen geométrica de este.
2. Deje $X=\mathbb{P}^n$, entonces es fácil decir por qué el universal bundle está dado por $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(-1)$ (sin computar la función de transición)?

Les agradecería si pudieran proporcionarme sus formas favoritas para ver estas líneas de paquetes.

Answer 1

Aquí es un lugar de la categoría de la teoría de la explicación donde estas Serre giros vienen. Cuando el anillo graduado $A$ es finitely generado por $A_1$$A_0$, hay una bien conocida característica universal de $\mathrm{Proj}(A)$. Es decir, morfismos $Y \to \mathrm{Proj}(A)$ $A_0$ corresponden bijectively a la línea de paquetes de $\mathcal{L}$ $Y$ junto con un $A_0$-lineal epimorphism $A_1 \to \Gamma(Y,\mathcal{L})$. Esto describe el functor de puntos de $\hom(-,\mathrm{Proj}(A))$. Por lo tanto, en realidad esto puede servir como una definición del Proyecto de construcción. Ahora el elemento universal de este representable functor es una línea bundle $\mathcal{O}(1)$ $\mathrm{Proj}(A)$ junto con un epimorphism $A_1 \to \Gamma(\mathrm{Proj}(A),\mathcal{O}(1))$. Más generalmente, $\mathcal{O}(k) := \mathcal{O}(1)^{\otimes k}$$k \in \mathbb{Z}$.

Intuitivamente, Serre giros que la hacen posible "cambio a los afín caso". Si $\mathcal{F}$ es coherente gavilla en una afín esquema, hay una epimorphism $\mathcal{O}^n \twoheadrightarrow \mathcal{F}$ (global generadores). Esto no es cierto en la proyectiva caso. Sin embargo, para cada coherente gavilla $\mathcal{F}$ en un esquema proyectivo $X$ con un elegido amplio gavilla $\mathcal{O}(1)$ hay un epimorphism $\mathcal{O}^n \twoheadrightarrow \mathcal{F}(k) := \mathcal{F} \otimes \mathcal{O}(k)$ $k$ lo suficientemente grande. Intuitivamente, estamos sólo de compensación denominadores aquí en el fin de reducir al afín situación. De ello se desprende que hay una secuencia exacta

$\mathcal{O}(-k_2)^{n_2} \to \mathcal{O}(-k_1)^{n_1} \to \mathcal{F} \to 0$

En el afín caso, tenemos $k_1=k_2=0$ y esta sería una descripción por generadores y relaciones. Aquí, se trata de algo muy similar, sólo tenemos añadido grados a los generadores. Esto también muestra que la categoría coherente de las poleas es generado por la Serre giros.

Al igual, cohomology se desvanece después del cambio lo suficientemente alto, etc.