Probabilidad de lotería del subconjunto

Question

La mayoría de las preguntas de la lotería son exactas, es decir, N números son ganadores, y usted elige N números (el subconjunto elegido es tan grande como el subconjunto ganador). Pero, ¿cómo se calcula la probabilidad de ganar cuando se eligen más de N números (el subconjunto elegido es mayor que el subconjunto ganador)?

Digamos que hay 8 números y 2 ganadores. Usted elige cuatro números. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos números ganadores estén incluidos en el subconjunto que has elegido?

He calculado la probabilidad manualmente como 11/56 ~ 0,1964, pero no puedo averiguar cómo obtenerla mediante combinatoria.

Answer 1

$$\large\frac {\binom 22\binom 62}{\binom 84}=\small\frac 3{14}$$

Answer 2

$$\frac12\times\frac37=\frac3{14}$$ Fijar un número ganador. El primer factor representa la probabilidad de que este número sea elegido (si $4$ de $8$ se eligen los números, entonces cada número fijo tiene una probabilidad $\frac48=\frac12$ ser uno de ellos). Supongamos que esto ocurre. Entonces el segundo factor representa la probabilidad de que, bajo esa condición, el otro número ganador sea elegido también ( $7$ los números son de la izquierda y $3$ de ellos será elegido).

Esta respuesta evita deliberadamente los coeficientes binomiales.

Answer 3

Si está familiarizado con la cantidad de formas que existen para elegir un subconjunto de tamaño $K$ de un conjunto de tamaño $M$ es decir, el coeficiente binomial ${M \choose K}$ entonces todo lo que necesitas saber para terminar es que el número de formas de elegir un subconjunto de tamaño $K$ que contiene un $N$ elementos es el número de formas de elegir un subconjunto de tamaño $K - N$ de un conjunto de tamaño $M - N$ , ya que $N$ de los elementos del subconjunto están prescritos. Por tanto, el número de formas de ganar es ${{M-N} \choose {K-N}}$ y la probabilidad de ganar es ésta dividida por ${M \choose K}$ .

Answer 4

$b=$ evento que $4$ de $8$ elegido = $8\choose 4$ .

$a=$ evento que $2$ de $4$ elegidos son ganadores.

$a\cap b$ = ${2\choose 2}{6\choose 2}$ . $2$ elegidos no son ganadores. el $2$ los ganadores se eligen entre los $6$ restante.

$a$ se produce dado $b$ = $a|b={{a\cap b}\over b}={{{2\choose 2}{6\choose 2}}\over{8\choose 4}}$