Supongamos que $f\colon X\to Y$ es un morfismo plano de variedades sobre un campo algebraicamente cerrado $k$ . Sea $E\subseteq X$ y $F\subseteq Y$ sean subvariedades cerradas tales que $f(E) = F$ . ¿Es cierto que el morfismo restringido $f|_E\colon E\to F$ ¿también es plana? Si no es así, ¿hay algunas condiciones adicionales en $f$ lo que haría que esto fuera cierto?
Respuesta
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No, la restricción $f:E\to F$ no tiene por qué ser plana.
Tome $Y=\mathbb A^2, X=\mathbb A^2 \times \mathbb P^1$ y para $f:X\to Y $ tomar la primera proyección, que es plana.
Ahora dentro $X$ se encuentra la explosión $B\subset X$ de $Y$ en el origen $(0,0)\in \mathbb A^2=Y$ .
El mapa restringido $f\mid B: B\to \mathbb A^2$ es bien sabido que no es plano, porque todas sus fibras fuera del origen son puntos simples, mientras que la fibra en el origen es el espacio proyectivo unidimensional $\mathbb P^1$ : los mapas planos no toleran estos saltos de dimensión.
En cuanto a su segunda pregunta, soy pesimista respecto a un criterio general que garantice que la restricción de un mapa plano seguirá siendo plana.
La planitud es una relación sutil entre las fibras de un morfismo, y tengo la sensación de que restringir un morfismo plano a una subvariedad de su dominio suele destruir esta relación.
