Antecedentes: Soy informático teórico (candidato al doctorado) y he realizado cursos de posgrado en Álgebra.
Quiero entender el siguiente teorema del libro "Symmetric Bilinear Forms" de J. Milnor y D. Husemoller.
Teorema (9.5, pp 46) Para cualquier dimensión n existe un espacio de producto interno definido positivo definida del producto interno del espacio $X$ de tipo $1$ y el rango $n$ con $\min_{x \in X \setminus {0}} x.x \geq n ($ n \N - flecha derecha \N - infty $)$ .
En particular, el teorema implica la existencia de una red autodual con el vector más corto \geq \sqrt {n}.
La demostración de este teorema es un subproducto del teorema de Siegel, que puede ser visto como un límite en el número "promedio" de soluciones a una ecuación cuadrática. La ecuación que me interesa es x.x = k, es decir el número de vectores de una longitud determinada $k$ de un producto interno espacio $X$ .
El libro mencionado anteriormente no da una prueba para el teorema de Siegel teorema de Siegel. Además, la demostración del Teorema 9.5 utiliza algunos resultados sobre enteros p-ádicos y otros sobre géneros de espacios de formas bilineales para mostrar que el número de soluciones de la ecuación x.x=k, sumadas para k \Nen {1, \dots, n} es <2 si se promedia sobre todos los productos lineales distintos en el género $I_n$ .
Mi objetivo es entender esta prueba.
¿Cuáles son los libros por los que debería empezar para entender la prueba? El libro de Milnor es demasiado corto y parece estar dirigido a expertos. Tenga en cuenta que no entiendo los enteros p-ádicos y por lo tanto es muy difícil para mí entender la prueba.
