Problema de palabras sobre la descomposición exponencial

Question

¿Cómo podría resolver el siguiente problema de palabras?

Una sustancia radiactiva pesada $n$ gramos en el momento t=0. Hoy 5 años después el peso de la sustancia $m$ gramos. ¿Cuánto pesará la sustancia dentro de 5 años?

¿Cómo puedo resolver esto? Sé que la fórmula que tengo que usar es $f(x)=Ce^{kt}$ y encontrar $k$ usted lo hace $\ln2$ /media vida

Answer 1

No necesitamos calcular $k$ . Tenemos $$f(t)=Ce^{kt}.$$

Se nos dice que $f(0)=n$ Así que $C=n$ .

Se nos dice que $f(5)=m$ . Así que $$Ce^{5k}=ne^{5k}=m.\tag{1}$$

Queremos encontrar $f(10)$ que es $ne^{10k}$ . Pero a partir de (1) $e^{5k}=\frac{m}{n}$ Así que $e^{10k}=\frac{m^2}{n^2}$ y por lo tanto $$f(10)=n\cdot \frac{m^2}{n^2}=\frac{m^2}{n}.$$

Answer 2

Una pista:

¿Qué hace $f(0) = Ce^{0} = n$ te cuentan sobre $C$ ?

¿Qué hace $f(5) = Ce^{5k} = m$ te cuentan sobre $k$ ?

¿Qué se obtiene entonces cuando se calcula $f(10)$ ?

Answer 3

La función que da el peso de la sustancia radiactiva es

$W(t)=n*e^{-ct}$ ( $n$ = peso en el momento $t=0$ )

Tenemos

$W(5)=n*e^{-5c} \implies m=n*e^{-5c}$

$e^{-5c}=m/n \implies -5c=ln(\frac{m}{n})\implies c=\frac{-1}{5}ln(\frac{m}{n})$ .

Así que la función se convierte en

$W(t)=n*e^{\frac{1}{5}ln(\frac{m}{n})t}$

Finalmente, después de $5$ años a partir de ahora

( $10$ años desde $t=0$ )

$W(10)=n*e^{2ln(\frac{m}{n})}= n*e^{{ln(\frac{m}{n})^2}}=n*(\frac{m}{n})^2=\boxed{\frac{m^2}{n}}$

Answer 4

Tengo una pregunta seria con respecto a estos problemas de decaimiento exponencial. ¿Por qué demonios se requiere el uso de esta fórmula? El enfoque más sencillo es el siguiente y requiere mucha menos aritmética:

Desde $m$ es la cantidad después de 5 años, hacemos

$m = n * x^5$

Resolver para $x$ nos da

$x = \left(\frac{m}{n}\right)^{\frac{1}{5}}$

Así que nuestra función de decaimiento es

$f(t) = n*\left(\frac{m}{n}\right)^{\frac{t}{5}}$

en nuestro caso

$f(10) = n*\left(\frac{m}{n}\right)^{\frac{10}{5}} = n*\frac{m^2}{n^2} = \frac{m^2}{n} $

¿Alguien puede decirme por qué se supone que la gente utiliza este enfoque innecesario de la función exp?