Dejemos que $H$ sea un álgebra cuaterniónica sobre ${\bf Q}$ y que $R$ denota un máximo ${\bf Z}$ -orden en $H$ . ¿Existe un teorema sobre la estructura de las unidades en $R$ análogo al teorema de la unidad de Dirichlet? ¿Existe un teorema análogo para el $S$ -¿unidades?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Si $H$ es definida, entonces el grupo de unidades de $H$ es finito. Si $H$ es indefinido, entonces el grupo de unidades es un grupo bastante grueso; se incrusta como un subgrupo discreto cocompacto de $SL(2, R)$ y el rango de su abelianización (que, si no recuerdo mal, puede interpretarse geométricamente como el doble del género de una curva modular asociada) puede ser arbitrariamente grande.
Todo esto se deduce de los teoremas generales sobre los subgrupos aritméticos de los grupos algebraicos; se trata de una teoría clásica que se remonta a Borel, Harish-Chandra y Ono en los años 60, y hay un buen resumen en el artículo de Gross "Algebraic modular forms".
EDIT: Has preguntado por las unidades S. Sea S un conjunto de primos finitos. Si $H$ es definida, entonces el grupo de unidades S en H será un subgrupo cocompacto discreto de
$\prod_{p \in S} (H \otimes \mathbb{Q}_p)^\times$ .
Si cada lugar en $S$ se ramifica en $H$ entonces los núcleos de los mapas de norma reducida $(H \otimes \mathbb{Q}_p)^\times \to \mathbb{Q}_p^\times$ son compactos, por lo que este grupo anterior mapea con núcleo finito a un subgrupo discreto de $\prod_{p \in S} \mathbb{Q}_p^\times$ y, por lo tanto, su abelianización tiene un rango igual al tamaño de S. Este argumento puede llevarse más lejos: se puede demostrar que si H es un álgebra de cuaterniones sobre un campo totalmente real F que es totalmente definido (es decir, definido en cada lugar infinito de F), entonces el mapa de las unidades S de H a las unidades S de F tiene un núcleo y un cokernel finitos, por lo que la abelianización de las unidades S de F tiene un rango $|S| + [F : \mathbb{Q}] - 1$ .
Mi caso favorito, sin embargo, es cuando $F = \mathbb{Q}$ , $H$ es definitiva, y $S$ consiste en un único lugar finito $p$ que es no ramificado en $H$ . Entonces las unidades S de $H$ incrustar en $GL(2, \mathbb{Q}_p)$ como un subgrupo discreto cocompacto $\Gamma$ y el espacio de funciones continuas sobre el cociente $GL(2, \mathbb{Q}_p) / \Gamma$ da una representación de $GL(2, \mathbb{Q}_p)$ con muchas propiedades fascinantes (es un ejemplo de uno de los espacios de cohomología completa de Matt Emerton).
