Extraña forma de definir una elipse en el plano complejo

Question

Se me pide que demuestre que

$|z-i||z+i|=2$

define una elipse en el plano.

He intentado sustituir $z = x+iy $ en la ecuación anterior y forzar el resultado sin éxito. Teniendo en cuenta que $ |z-i||z+i| = |z^2+1| $ alivia un poco el álgebra pero no me ayudó mucho.

Editar: Sé que parece que falta el signo más: $|z-i| + |z+i| = 2$ en la pregunta, pero eso es lo que dice el ejercicio.

De hecho, el siguiente ejercicio quiere que demostremos que $ |z-1||z+i| = 2$ define una línea en el plano complejo.

Answer 1

Esta expresión no lo hace definir una elipse. Es el conjunto de aquellos puntos del plano tales que la productos de sus distancias a $i$ y a $-i$ es igual a $2$ . Si estuviéramos hablando de la suma de las distancias, entonces, sí, sería una elipse.

Para demostrar que no es una elipse, observe que cuatro de los puntos de este conjunto son $\pm1$ y $\pm\sqrt3\,i$ . Además, el conjunto es simétrico respecto a ambos ejes. Hay una y sólo una elipse que cumple estas condiciones: $$\left\{x+yi\in\mathbb{C}\,\middle|\,x^2+\frac{y^2}3=1\right\}.$$ Uno de los puntos de esta elipse es $z_0=\frac12+\frac{3i}2$ . Pero $|z_0-i|.|z_0+i|=\frac{\sqrt{13}}2$ . Por lo tanto, su conjunto es no una elipse.

Answer 2

El lugar de los puntos $P$ que tienen el producto de sus distancias a dos puntos dados (focos) constante se conoce como Óvalo de Cassini . Por lo tanto, también creo que debería haber un signo + en lugar de una multiplicación en su expresión.