$N =\sum_{k = 1}^{1000}k(\lceil\log_{\sqrt{2}}k\rceil-\lfloor\log_{\sqrt{2}}k\rfloor). $

Question

Encuentre $N$ para

$$N =\sum_{k = 1}^{1000}k\left(\left\lceil\log_{\sqrt{2}}k\right\rceil-\left\lfloor\log_{\sqrt{2}}k\right\rfloor\right)\;.$$

¿Cómo podría resolver este problema? ¿Hay reglas sigma o algo así? Gracias.

Answer 1

CONSEJO: Si $k=2^n$ entonces $\log_{\sqrt2}k=2n$ y por lo tanto

$$\left\lceil\log_{\sqrt2}k\right\rceil=\left\lfloor\log_{\sqrt2}k\right\rfloor\;.\tag{1}$$

• ¿Existen otros valores de $k$ para lo cual $(1)$ ¿es cierto?
• Cuando $(1)$ es falso, lo que es $\left\lceil\log_{\sqrt2}k\right\rceil-\left\lfloor\log_{\sqrt2}k\right\rfloor$

Answer 2

Una pista:
Cuando $k$ es una potencia de $2$ entonces $\left\lceil\log_{\sqrt{2}}k\right\rceil-\left\lfloor\log_{\sqrt{2}}k\right\rfloor = 0$ De lo contrario, es $1$

Answer 3

Sólo hay que ver esto si $\log_{\sqrt{2}}k$ no es un número entero, entonces

$$ \left\lceil\log_{\sqrt{2}}k\right\rceil-\left\lfloor\log_{\sqrt{2}}k\right\rceil = 1$$

y $$ \left\lceil\log_{\sqrt{2}}k\right\rceil-\left\lfloor\log_{\sqrt{2}}k\right\rceil = 0$$

de lo contrario.

Nota:

$$ \lceil x \rceil - \lfloor x \rfloor = \begin{cases}0 ,\quad z\in \mathbb{Z}\\ 1\quad otherwise \end{cases} $$