Encontrar el espacio de columnas y filas sin calcular A.

Question

Tengo la una pregunta que pide que encuentre el espacio de la columna y el espacio de la fila de:

$$A = \begin{bmatrix}1&2 \\4&5 \\2&7\end{bmatrix} \begin{bmatrix}3&0&3 \\1&1&2 \end{bmatrix}$$

Lo que pensaba hacer era reducir las filas de las matrices y obtener $LU$ pero cuando lo hago no consigo obtener una matriz correcta. Sé que debería ser un subespacio de $\mathbb R^3$ . ¿Hay otra forma de hacerlo?

Gracias.

Answer 1

Una pista: $A=A_1A_2$ donde $A_1$ es el $3$ x $2$ matriz que tiene a la izquierda, y $A_2$ es la otra matriz.

Entonces el espacio de la columna de $A$ está contenida en el espacio de columnas de $A_1$ . ¿Se puede afirmar que son iguales?

Answer 2

Dejemos que $c_1,c_2$ sean las columnas de la primera matriz y que $r_1,r_2$ sean las filas de la segunda matriz.

Entonces las columnas de A vienen dadas por $\{3c_1+c_2, c_2, 3c_1+2c_2\}$ por lo que el espacio de columnas de A viene dado por

$span\{3c_1+c_2, c_2, 3c_1+2c_2\}=span\{c_1,c_2\}$ $\;\;\;\;\;$ (ya que $c_1=\frac{1}{3}(3c_1+c_2)-\frac{1}{3}c_2$ ).

Del mismo modo, las filas de A vienen dadas por $\{r_1+2r_2,4r_1+5r_2, 2r_1+7r_2\}$ por lo que el espacio de filas de A viene dado por

$span\{r_1+2r_2,4r_1+5r_2, 2r_1+7r_2\}=span\{r_1,r_2\}$ $\;\;\;$

$\;\;\;$ (ya que $r_1=-\frac{5}{3}(r_1+2r_2)+\frac{2}{3}(4r_1+5r_2)$ y $r_2=\frac{4}{3}(r_1+2r_2)-\frac{1}{3}(4r_1+5r_2)$ ).