¿Cuál es la cohomología equivariante de la esfera 0 actuando sobre la esfera 1?

Question

Ver $S^1$ como el círculo unitario en el plano complejo y que $S^0$ actúan por conjugación compleja. ¿Cuál es la cohomología equivariante de Borel $H^*_{S^0}(S^1;{\mathbb{Z}})$ de esta acción?

Planteo esta cuestión como un análogo de la siguiente cohomología equivariante bien conocida de $S^1$ en $S^2$ por rotación en torno a la $z$ -eje. Tenemos $H^*_{S^1}(S^2;{\mathbb{Z}})\cong {\mathbb{Z}})[x]\oplus {\mathbb{Z}})[y]$ donde $x$ y $y$ están en $H^2$ . Una prueba va descomponiendo $S^2$ equitativamente en ${D^+} \cup_{S^1} D^-$ donde $D^+$ y $D^-$ son los hemisferios superior e inferior respectivamente. Aquí la intersección ${D^+} \cap D^- = S^1$ está conectada por un camino, por lo que se aplica la secuencia de Mayer-Vietoris.

Tratando de aplicar el mismo método a mi problema anterior se llega a $S^1=I\cup_{S^0} I$ donde $S^0$ está desconectado. Esto recuerda a un problema clásico relacionado con el trabajo de Brown sobre los groupoides y el teorema de van Kampen. . .

Answer 1

La secuencia de Mayer-Vietoris no necesita intersecciones conectadas. En su caso, la $S^0$ -cohomología equivariante de $S^0$ es la cohomología ordinaria de un punto y se obtiene $H_{S^0}^*(S^1;\mathbb{Z})=H^*(\mathbb{R}P^\infty)\oplus H^*(\mathbb{R}P^\infty)$ (para $*>0$ para $*=0$ se obtiene por supuesto $\mathbb{Z}$ ).