Una demostración combinatoria particular del teorema de Wilson

Question

Yo (probablemente re)inventé una prueba combinatoria muy corta del teorema de Wilson que enseño perennemente a mis estudiantes. Si ocurre en la literatura y alguien puede decirme dónde primero (o incluso en absoluto), me gustaría atribuir el crédito correctamente.

De hecho, demuestro $p! - p(p-1) \equiv 0 \mod p^2$.

$p!$ cuenta la función biyectiva de ${\Bbb Z}/p$ a ${\Bbb Z}/p$ y ${\Bbb Z}/p \times {\Bbb Z}/p$ actúa sobre ellas por $f(x)\stackrel{(a,b)}{\rightarrow} f(x-a)+b$. Excluyendo funciones de la forma $cx+d, c\not=0$, todas las órbitas tienen tamaño $p^2$.

Answer 1

De acuerdo con la Historia de la Teoría de los Números de Dickson, esta prueba fue encontrada por primera vez por J. Petersen, Tidsskrift para Mathematik (3), 2, 1872, 64-5. (Petersen divide todo por 2, pero la idea es la misma). Dickson da una serie de referencias a redescubrimientos de la prueba de Petersen en el siglo 19. Petersen también fue aparentemente el primero en descubrir la demostración combinatoria del teorema de Fermat.

Answer 2

¿No es solo la misma prueba que las líneas discontinuas cerradas habituales (orientadas, con punto de inicio etiquetado), uniendo vértices de $p$-gon regular? Las rotaciones corresponden a desplazamientos del argumento de la función biyectiva, y cambiando el punto de partida corresponden a $f(x)\rightarrow f(x)+b$.