¿Está conectado localmente cada subconjunto del espacio euclídeo R^n localmente conectado?

Question

Esta no es en realidad una pregunta hecha por mí. Pero como no sé la respuesta, me encantaría saber si alguien aquí podría responderla.

Answer 1

Una respuesta parcial es que esto es cierto para los conjuntos compactos (como se indica en la respuesta de Mark Sapir) y también para todos los conjuntos abiertos $M$, porque se puede demostrar con bastante facilidad que el conjunto de todos los puntos de $M$ que se puede unir a algún $x_0\in M$ fijo está abierto y cerrado al mismo tiempo.