¿Cómo puedo calcular la serie de Eisenstein de una red compleja?

Question

Supongamos que tengo un entramado $\Lambda = \mathbb{Z}+\frac{3}{2}i\mathbb{Z}$ . ¿Cómo podría calcular $G_{2n}(\Lambda)$ para un determinado $n \in \mathbb{N}$ ?

Answer 1

Hasta el $\zeta(4),\zeta(6)$ constantes esto es $E_4,E_6$ Algunas formas modulares con coeficientes racionales.

$E_6(i)=0$ y $E_4(i)$ se da en términos de la función beta $\int_0^\infty \frac{dx}{\sqrt{x^3+x}}$ entonces $E_{2k}(z)\in \Bbb{Z}[E_4(z),E_6(z),\Delta(z)]$ así que $E_{2k}(i\frac32)\in \Bbb{Z}[\frac16,E_4(i\frac32),E_6(i\frac32)]$

y $E_4(i\frac32),E_6(i\frac32)$ son algebraicas sobre $\Bbb{Z}[E_6(i)]$ Esto se debe a que los coeficientes de $$\prod_{\gamma \in \Gamma_0(6)\backslash SL_2(\Bbb{Z})} (X-E_6(\frac32 \gamma(z)))$$ son formas modulares $\in M_{(d-n)6}(SL_2(\Bbb{Z}))$ con coeficientes racionales, por lo que están en $\Bbb{Q}[E_4(z),E_6(z)]$ .